De wet van de grote aantallen

John Kerrich gooide tijdens de Tweede Wereldoorlog 10 000 keer met een munt en kreeg 5067 keer kop: een aandeel van 0.5067.

Na vijf keer kop is munt toch aan de beurt?

Vijf keer achter elkaar kop. Dan moet de volgende toch wel munt zijn? Die gedachte is verleidelijk en heeft een naam: de gokkersmisvatting. Ze lijkt erg op de wet van de grote aantallen, en juist dat is het probleem. Die wet klopt, maar zegt niets over de volgende worp. Ze werkt ook niet doordat eerdere uitkomsten worden gecompenseerd. Begin dus met wat de wet wél zegt.

Als een munt kans 1/2 op kop heeft, waarom valt die dan zo vaak drie of vier keer achter elkaar op kop? Omdat een kans niet een handjevol worpen beschrijft, maar wat er bij veel herhalingen gebeurt. Het aandeel proeven waarin een gebeurtenis plaatsvindt heet de relatieve frequentie: aantal keer dat het gebeurt ÷ aantal proeven. Volgens de wet van de grote aantallen komt de relatieve frequentie doorgaans steeds dichter bij de theoretische kans naarmate het aantal proeven groeit.

Kerrich kreeg 67 keer extra kop, maar zat er slechts 0.0067 naast

Kerrichs aandeel was 5067 ÷ 10 000 = 0.5067, slechts 0.0067 van 0.5 verwijderd. Toch zat hij in aantallen 67 keer kop boven de 5000 die je zou ‘verwachten’. Dit is het verrassende deel van de wet. Als je blijft gooien, verdwijnt het verschil tussen het aantal keren kop en de helft van de worpen niet naar nul. Het schommelt meestal en wordt vaak groter. Wat kleiner wordt, is dat verschil gedeeld door het aantal worpen. De wet van de grote aantallen werkt doordat een enorme hoeveelheid latere worpen het vroege toeval verwaarloosbaar maakt, niet doordat dat toeval wordt terugbetaald.

Daarom is de gokkersmisvatting ook een misvatting. Na vijf keer kop is de kans op kop bij de volgende worp met een eerlijke munt nog steeds 1/2. De munt heeft geen geheugen en is niemand een keer munt verschuldigd. Op de lange duur wordt die vroege reeks van vijf een onbeduidend deel van duizenden worpen.

Honderd worpen eindigen meestal tussen 0.40 en 0.60

Er is een handige vuistregel voor hoeveel een aandeel doorgaans afwijkt. Bij n worpen met een munt met kans p eindigt ongeveer 95% van de reeksen met een aandeel binnen p ± 2√(p(1 − p)/n). Bij een eerlijke munt en 100 worpen is dat 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1. Alles tussen 0.40 en 0.60 is dus gewoon. Bij 10 000 worpen is het 0.5 ± 0.01. Kerrichs 0.5067 ligt ruim binnen die band, ongeveer 1.34 standaardafwijkingen boven 0.5. Let op de wortel: voor een tien keer smallere band heb je honderd keer zoveel worpen nodig.

Op dezelfde manier kun je de Belgische euro van OpenStax beoordelen. Bij 250 worpen is de 95%-band voor een eerlijke munt 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, ongeveer van 0.437 tot 0.563. De waargenomen 0.56 ligt erbinnen, dicht bij de rand. Daarom is de zorgvuldige conclusie ‘mogelijk oneerlijk, vaker gooien’, niet ‘bewezen oneerlijk’.