A lei dos grandes números

John Kerrich lançou uma moeda 10 000 vezes durante a Segunda Guerra Mundial e obteve 5067 caras, uma proporção de 0.5067.

Depois de cinco caras seguidas, está na hora de sair coroa?

Cinco caras seguidas. A próxima só pode ser coroa, certo? É tentador pensar assim, e essa sensação tem nome: falácia do jogador. Ela se parece muito com a lei dos grandes números, e aí está o problema. A lei é verdadeira. Mas ela não diz nada sobre o próximo lançamento e nunca age para compensar resultados anteriores. Comecemos pelo que a lei realmente diz.

Se uma moeda tem chance 1/2 de dar cara, por que dá cara três ou quatro vezes seguidas com tanta frequência? Porque a probabilidade não descreve um punhado de lançamentos. Ela descreve o que acontece em muitas repetições. A fração de vezes em que um evento ocorre numa sequência de tentativas é sua frequência relativa: contagem ÷ número de tentativas. A lei dos grandes números diz que, conforme aumenta o número de tentativas, a frequência relativa tende a ficar cada vez mais próxima da probabilidade teórica.

Kerrich teve 67 caras a mais, mas um desvio de apenas 0.0067

A proporção de Kerrich foi 5.067 ÷ 10.000 = 0.5067, apenas 0.0067 distante de 0.5. No entanto, em números absolutos, ele teve 67 caras além das 5.000 que se poderia «esperar». Essa é a parte da lei que surpreende. Ao continuar lançando, a diferença entre o número de caras e a metade dos lançamentos não diminui até zero; em geral, ela oscila e muitas vezes cresce. O que diminui é essa diferença dividida pelo número de lançamentos. A lei dos grandes números funciona diluindo a sorte inicial num enorme número de lançamentos posteriores, não compensando-a.

É também por isso que a falácia do jogador é uma falácia. Depois de cinco caras seguidas, a probabilidade de cara no próximo lançamento de uma moeda equilibrada continua sendo 1/2. A moeda não tem memória e não deve uma coroa a ninguém. No longo prazo, aquela sequência inicial de cinco se torna uma parte insignificante de milhares de lançamentos.

Cem lançamentos geralmente terminam entre 0.40 e 0.60

Há uma regra prática útil para saber quanto uma proporção costuma se afastar do esperado. Para n lançamentos de uma moeda com probabilidade p, cerca de 95% das sequências terminam com uma proporção dentro de p ± 2√(p(1 − p)/n). Para uma moeda equilibrada e 100 lançamentos, isso dá 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1, então qualquer valor de 0.40 a 0.60 é comum. Para 10.000 lançamentos, a faixa é 0.5 ± 0.01. O resultado de Kerrich, 0.5067, fica bem dentro dela, cerca de 1.34 desvios padrão acima de 0.5. Observe a raiz quadrada: para deixar a faixa dez vezes mais estreita, é preciso multiplicar o número de lançamentos por cem.

A mesma ideia permite avaliar a moeda belga do OpenStax. Com 250 lançamentos, a faixa de 95% para uma moeda equilibrada é 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, aproximadamente de 0.437 a 0.563. O valor observado, 0.56, está dentro dela, perto do limite. Por isso, a conclusão honesta é «talvez seja viciada, lance mais vezes», não «está provado que é viciada».