Tamanho da amostra e teorema central do limite

A média de 25 valores de uma população com desvio padrão 15 tem erro padrão de 15 ÷ √25 = 3.

Minji calcula a média de cinco lançamentos de dado, trezentas vezes

Uma história inventada. Minji tem um dado e muita paciência. Ela o lança cinco vezes, anota a média dos cinco resultados e recomeça. Depois de 300 rodadas, tem 300 médias. Um único lançamento pode dar de 1 a 6 com chances iguais, então ela espera que suas médias também se distribuam uniformemente. Mas não é assim. Cerca de quatro em cinco ficam entre 2.5 e 4.5, e menos de uma em cem fica abaixo de 1.5 ou acima de 5.5. O laboratório abaixo começa com o mesmo experimento: 300 amostras de tamanho 5. Por que as médias se agrupam, e em que medida?

Pesquisas, sondagens de opinião, inspeções de qualidade em fábricas e ensaios clínicos funcionam da mesma maneira. Ninguém mede todas as pessoas. Retira-se uma amostra e usa-se a média amostral para estimar a média da população inteira. Amostras diferentes dão médias diferentes. A pergunta útil é quanto a média amostral oscila de uma amostra para outra e como essa oscilação depende do tamanho da amostra.

Um dado é uma população uniforme com média 3.5

Um dado equilibrado é uma pequena população perfeita. Seus valores de 1 a 6 são equiprováveis, então sua média é μ = 3.5 e seu desvio padrão é σ = √(35/12), aproximadamente 1.708. A distribuição é plana, nada parecida com um sino. Agora retire uma amostra: lance o dado n vezes e calcule a média. Com n = 1, a média amostral é um único lançamento, então sua distribuição também é plana. Com n = 2, é a soma de dois dados dividida por 2, com a forma de tenda da lição sobre dois dados. Com n = 5 ou 10, o histograma das médias amostrais já é uma colina suave em torno de 3.5, que se estreita conforme n cresce.

As médias amostrais se agrupam em torno de μ, com dispersão σ/√n

O OpenStax apresenta assim o teorema central do limite para médias amostrais. Retire amostras aleatórias de tamanho n de qualquer população com média μ e desvio padrão σ. Conforme n aumenta, as médias amostrais tendem a seguir uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ/√n. O número σ/√n é chamado erro padrão da média. O OpenStax acrescenta um detalhe fácil de ignorar: n é a quantidade de valores usados em cada média, não a quantidade de repetições do experimento. Mais amostras preenchem o histograma; amostras maiores o estreitam. No experimento de Minji, n é 5, não 300.

Duas consequências importam na prática. Primeiro, a média amostral acerta em média: as médias se agrupam em torno de μ, não acima nem abaixo. Segundo, a precisão só melhora com a raiz quadrada de n. Para o dado, o erro padrão é 1.708/√1 = 1.708 para lançamentos individuais, 1.708/√25 ≈ 0.342 para amostras de 25 e 1.708/√100 ≈ 0.171 para amostras de 100. Quadruplicar o tamanho da amostra reduz o erro padrão à metade; multiplicá-lo por cem divide o erro por dez. No exemplo do próprio OpenStax, uma população com média 90 e desvio padrão 15, com amostras de tamanho 25, dá erro padrão de 15/√25 = 3. Assim, uma média amostral dois erros padrão acima do valor esperado é 90 + 2 × 3 = 96.

Uma população assimétrica também dá uma colina de médias com n = 30

O teorema não exige uma população em forma de sino. Mude a cena para a população assimétrica, em que valores pequenos são comuns e grandes são raros (a média é 3.06). Com n = 1, o histograma tem uma cauda longa à direita. Com n = 30, as médias amostrais formam uma colina quase simétrica em torno de 3.06. Por isso pesquisas podem informar uma margem de erro sem saber como as opiniões se distribuem. Numa pergunta de sim ou não, a população é de 0 e 1, com σ no máximo 0.5. Com 1.000 pessoas, a margem de 95% é aproximadamente 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032, o conhecido «mais ou menos 3 pontos percentuais».