Tamaño muestral y teorema central del límite

La media de 25 valores de una población con desviación estándar 15 tiene un error estándar de 15 ÷ √25 = 3.

Minji promedia cinco lanzamientos de un dado, trescientas veces

Una historia inventada. Minji tiene un dado y mucha paciencia. Lo lanza cinco veces, anota la media y vuelve a empezar. Tras 300 rondas tiene 300 medias. Cada lanzamiento puede dar de 1 a 6 con igual probabilidad; espera que las medias se repartan igual de uniformemente. No ocurre así. Unas cuatro de cada cinco quedan entre 2.5 y 4.5, y menos de una de cada cien está por debajo de 1.5 o por encima de 5.5. El laboratorio empieza con el mismo experimento: 300 muestras de tamaño 5. ¿Por qué se agrupan las medias y cuánto?

Las encuestas, los sondeos de opinión, los controles de calidad de fábrica y los ensayos médicos funcionan de forma parecida. No se mide a todo el mundo: se toma una muestra y se usa su media para estimar la media poblacional. Distintas muestras dan distintas medias. La pregunta útil es cuánto varía la media muestral de una muestra a otra y cómo depende esa variación del tamaño de la muestra.

Un dado es una población uniforme con media 3.5

Un dado equilibrado es una pequeña población ideal. Sus valores de 1 a 6 son equiprobables: su media es μ = 3.5 y su desviación estándar, σ = √(35/12), aproximadamente 1.708. Su distribución es plana, nada parecida a una campana. Toma ahora una muestra: lanza el dado n veces y calcula la media. Con n = 1, la media es un único lanzamiento y también tiene distribución plana. Con n = 2, es la suma de dos dados dividida entre 2, con forma de tienda. Con n = 5 o 10, el histograma de medias ya es una colina suave alrededor de 3.5, cada vez más estrecha al aumentar n.

Las medias se agrupan alrededor de μ, con dispersión σ/√n

OpenStax enuncia así el teorema central del límite para medias: toma muestras aleatorias de tamaño n de cualquier población con media μ y desviación estándar σ. Al aumentar n, las medias muestrales tienden a seguir una distribución normal con media μ y desviación estándar σ/√n. Este número se llama error estándar de la media. OpenStax añade un detalle fácil de pasar por alto: n es la cantidad de valores que se promedian, no las repeticiones del experimento. Más muestras rellenan el histograma; muestras más grandes lo estrechan. En el experimento de Minji, n es 5, no 300.

Importan dos consecuencias. Primera: la media muestral acierta en promedio; las medias se agrupan alrededor de μ, no por encima ni por debajo. Segunda: la precisión mejora solo con la raíz cuadrada de n. Para el dado, el error estándar es 1.708/√1 = 1.708 con lanzamientos individuales; 1.708/√25 ≈ 0.342 con muestras de 25; y 1.708/√100 ≈ 0.171 con muestras de 100. Cuadruplicar el tamaño reduce el error a la mitad; multiplicarlo por cien lo divide entre diez. Ejemplo de OpenStax: una población con media 90 y desviación estándar 15, con muestras de tamaño 25, da error estándar 15/√25 = 3. Una media muestral dos errores estándar por encima de lo esperado es 90 + 2 × 3 = 96.

Incluso una población asimétrica produce una colina de medias con n = 30

El teorema no exige una población con forma de campana. Cambia a la población asimétrica, donde abundan los valores pequeños y escasean los grandes (media 3.06). Con n = 1, el histograma tiene cola larga a la derecha. Con n = 30, las medias forman una colina casi simétrica alrededor de 3.06. Por eso los sondeos pueden dar un margen de error sin conocer la distribución de opiniones. En preguntas de sí o no, la población contiene 0 y 1, con σ como máximo 0.5; con 1000 personas, el margen del 95% es aproximadamente 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032, el conocido «más o menos 3 puntos porcentuales».