Ukuran sampel dan teorema limit pusat

Rata-rata dari 25 nilai yang berasal dari populasi dengan simpangan baku 15 memiliki galat baku 15 ÷ √25 = 3.

Minji merata-ratakan lima lemparan dadu, diulang tiga ratus kali

Cerita rekaan. Minji memiliki dadu dan banyak kesabaran. Ia melempar lima kali, mencatat rata-ratanya, lalu mengulanginya. Setelah 300 putaran, ia memiliki 300 rata-rata. Satu lemparan menghasilkan 1 sampai 6 dengan peluang sama, jadi ia menduga rata-ratanya juga tersebar merata. Ternyata tidak. Sekitar empat dari lima berada antara 2.5 dan 4.5, dan kurang dari satu per seratus di bawah 1.5 atau di atas 5.5. Lab di bawah dimulai dengan percobaan yang sama, 300 sampel berukuran 5. Mengapa rata-rata mengelompok, dan seberapa rapat?

Survei, jajak pendapat, pemeriksaan mutu di pabrik, dan uji medis bekerja dengan cara serupa. Tidak semua orang diukur. Peneliti mengambil sampel dan memakai rata-rata sampel untuk memperkirakan rata-rata seluruh populasi. Sampel berbeda memberi rata-rata berbeda, jadi pertanyaan pentingnya adalah seberapa besar rata-rata berubah dari sampel ke sampel, dan bagaimana perubahan itu bergantung pada ukuran sampel.

Satu dadu adalah populasi seragam dengan rata-rata 3.5

Dadu adil adalah populasi kecil yang cocok. Nilai 1 sampai 6 sama mungkin, sehingga rata-ratanya μ = 3.5 dan simpangan bakunya σ = √(35/12), sekitar 1.708. Bentuknya datar, sama sekali bukan lonceng. Sekarang ambil sampel: lempar dadu n kali lalu rata-ratakan hasilnya. Dengan n = 1, rata-rata sampel adalah satu lemparan, sehingga juga datar. Dengan n = 2, hasilnya jumlah dua dadu dibagi 2, yang memiliki bentuk segitiga dari pelajaran dua dadu. Dengan n = 5 atau 10, histogram rata-rata sampel sudah membentuk bukit halus di sekitar 3.5, dan makin sempit saat n bertambah.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Setiap sampel terdiri dari n lemparan dadu, dan rata-ratanya menambah satu balok pada histogram bawah. Sudah ada 300 sampel berukuran 5. Geser pengatur Ukuran sampel, ambil 1000 sampel, lalu bandingkan "Sebaran rata-rata sampel" dengan σ/√n. Kurva merah adalah kurva normal yang diprediksi teorema limit pusat.

Rata-rata sampel mengelompok di sekitar μ, dengan sebaran σ/√n

OpenStax menyatakan teorema limit pusat untuk rata-rata sampel sebagai berikut. Ambil sampel acak berukuran n dari populasi apa pun dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ. Saat n bertambah, rata-rata sampel cenderung mengikuti distribusi normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n. Bilangan σ/√n disebut galat baku rata-rata. OpenStax menambahkan hal yang mudah terlewat: n adalah banyak nilai yang dirata-ratakan, bukan banyak pengulangan percobaan. Menambah jumlah sampel mengisi histogram; memperbesar ukuran sampel mempersempitnya. Dalam percobaan Minji, n adalah 5, bukan 300.

Ada dua akibat praktis. Pertama, rata-rata sampel tepat secara rata-rata: semuanya mengelompok di sekitar μ, bukan di atas atau di bawahnya. Kedua, ketelitian hanya meningkat sebanding dengan akar kuadrat n. Untuk dadu, galat baku adalah 1.708/√1 = 1.708 untuk lemparan tunggal, 1.708/√25 ≈ 0.342 untuk sampel 25, dan 1.708/√100 ≈ 0.171 untuk sampel 100. Ukuran sampel empat kali lipat membagi galat baku menjadi setengah; seratus kali lipat membaginya dengan sepuluh. Contoh OpenStax: populasi dengan rata-rata 90 dan simpangan baku 15, sampel berukuran 25, memberi galat baku 15/√25 = 3, sehingga rata-rata sampel dua galat baku di atas nilai harapan adalah 90 + 2 × 3 = 96.

Populasi miring tetap menghasilkan bukit rata-rata saat n = 30

Teorema ini tidak memerlukan populasi berbentuk lonceng. Ubah tampilan ke populasi miring, dengan nilai kecil sering muncul dan nilai besar jarang (rata-ratanya 3.06). Dengan n = 1, histogram berekor panjang ke kanan. Pada n = 30, rata-rata sampel membentuk bukit hampir simetris di sekitar 3.06. Karena itulah jajak pendapat bisa melaporkan margin galat tanpa mengetahui distribusi pendapat. Untuk pertanyaan ya atau tidak, populasi terdiri dari 0 dan 1 dengan σ paling besar 0.5, sehingga untuk 1000 orang margin 95% sekitar 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032, atau "plus minus 3 poin persentase" yang lazim disebut.

Semua ini mengasumsikan sampel acak. Sampel sangat besar yang dikumpulkan secara bias, seperti hanya orang yang menjawab jajak pendapat situs web, memberi galat baku kecil di sekitar nilai yang salah.

Distribusi sampling rata-rata	Distribusi rata-rata sampel dari banyak sampel berukuran n
Galat baku	σ/√n, simpangan baku rata-rata sampel
Teorema limit pusat	Untuk n besar, rata-rata sampel mendekati normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n
Arti n	Banyak nilai dalam setiap sampel, bukan banyaknya sampel

Simpangan baku populasi 15, sampel 25. Berapa galat bakunya?
Contoh yang sama, rata-rata 90. Nilai berapa yang terletak dua galat baku di atas rata-rata?
Dadu adil memiliki σ ≈ 1.708. Galat baku rata-rata 25 lemparan, hingga 3 angka desimal?
Berapa rata-rata distribusi sampling untuk rata-rata lemparan dadu?
Galat baku berubah dengan faktor berapa jika n dikalikan 4?
Dalam teorema limit pusat, apa itu n?
- Banyak sampel yang diambil
- Banyak nilai yang dirata-ratakan dalam setiap sampel
- Ukuran populasi
- Banyak kelas dalam histogram
Sampel berukuran 30 dari populasi miring. Bagaimana bentuk sebaran rata-rata sampelnya?
- Ekor panjang ke kanan yang sama
- Mendekati normal di sekitar 3.06
- Datar
- Dua puncak terpisah
Jajak pendapat ya atau tidak dengan 1000 orang, σ = 0.5. Perkiraan margin 95%, 2 × σ/√n, hingga 3 angka desimal?
Lemparan dadu: n terkecil agar galat baku 0.5 atau kurang? (σ ≈ 1.708)
Jajak pendapat situs web mendapat 50 000 jawaban. Mengapa hasilnya masih bisa sangat salah?
- 50 000 terlalu kecil
- Sampelnya tidak acak, sehingga bisa bias
- Galat baku bertambah bersama n
- Teorema limit pusat memerlukan n di bawah 30

Kesalahan umum

"Minji mengambil 300 sampel, jadi n = 300 dan galat baku rata-ratanya 1.708/√300." n adalah banyak lemparan dalam setiap sampel, yaitu 5. Galat baku rata-ratanya 1.708/√5, sekitar 0.764, bukan sekitar 0.099. Menambah sampel mengisi histogram, bukan mempersempitnya.
"Lipat gandakan ukuran sampel dan galat bakunya menjadi setengah." Galat mengikuti 1/√n. Menggandakan n membaginya dengan √2, jadi hanya turun menjadi sekitar 0.707 dari nilai semula.
"Menurut teorema limit pusat, lemparan dadu tunggal menjadi berdistribusi normal jika jumlah lemparannya cukup banyak." Teorema ini membahas rata-rata n nilai, bukan nilai tunggal. Lemparan tunggal tetap datar berapa pun banyaknya: setiap mata tetap muncul sekitar 1/6 kali. Hanya rata-rata yang mengelompok membentuk lonceng.

Catatan untuk guruBagian sulitnya adalah membedakan dua hitungan: banyak nilai dalam satu sampel dan banyak sampel. Ubah hanya satu setiap kali di lab. Mula-mula ambil lebih banyak sampel dengan n = 5, lalu naikkan n dan ambil jumlah sampel yang sama; cara pertama mengisi histogram, cara kedua mempersempitnya. Dalam kurikulum Korea, populasi, sampel, rata-rata sampel, dan rata-rata populasi termasuk Peluang dan Statistika SMA, yang membatasi sampling pada sampel acak dan hanya memperkirakan rata-rata populasi jika populasinya normal. "Teorema limit pusat" dan "galat baku" tidak ada dalam daftar istilahnya; distribusi normal ditulis N(m, σ²), dengan m menggantikan μ yang dipakai OpenStax.

Poin penting

Rata-rata sampel bervariasi; sebarannya adalah galat baku σ/√n.
Teorema limit pusat: untuk n besar, rata-rata sampel mendekati normal, berpusat pada μ, untuk populasi apa pun.
n = nilai per sampel. 4 × n membagi galat menjadi setengah; 100 × n membaginya dengan 10.
Pengambilan sampel acak lebih penting daripada ukurannya.

Sumber kursus ini (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Diperiksa: 2026-10-17