edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Peluang dan statistika›Peluang

Dua dadu dan jumlah tujuh

Dua dadu memiliki 36 hasil sama mungkin, dan 6 di antaranya berjumlah 7, lebih banyak daripada jumlah lainnya.

Memilih jumlah 2, 7, atau 12: mana pilihanmu?

Sebelum membaca lanjut, coba ini. Kamu melempar dua dadu dan menjumlahkannya, lalu boleh bertaruh pada jumlah 2, 7, atau 12. Mana pilihanmu? Berapa kali lebih sering jumlah itu diharapkan muncul dibanding masing-masing lainnya? Tulis dugaanmu. Dugaan yang wajar adalah ketiganya sama mungkin karena masing-masing satu bilangan antara 2 dan 12. Dugaan lain: 7 menang, tetapi hanya sedikit. Pencacahan memastikan jawabannya, dan selisihnya tidak sedikit.

Permainan papan yang bergerak sesuai jumlah dua dadu terasa terus menghasilkan 7. Memang demikian, dan pencacahan menjelaskan alasannya. Warnai satu dadu merah dan lainnya biru. Dadu merah memiliki 6 sisi yang mungkin, begitu juga biru, sehingga pasangannya memiliki 6 × 6 = 36 hasil, dari (1, 1) sampai (6, 6). Setiap satu dari 36 hasil sama mungkin. Jumlahnya tidak: jumlah 2 hanya memerlukan (1, 1), sedangkan jumlah 7 bisa berupa (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), atau (6, 1).

Seluruh 36 hasil dua dadu beserta jumlahnya. Angka merah di samping adalah dadu merah, angka biru di atas adalah dadu biru. Enam sel jingga pada diagonal adalah cara menghasilkan 7.

Membaca kisi secara diagonal memberi banyak cara untuk setiap jumlah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 untuk jumlah 2 sampai 12. Totalnya 36, sesuai seharusnya. Jadi P(jumlah = 7) = 6/36 = 1/6, sekitar 0.167, sedangkan P(jumlah = 2) dan P(jumlah = 12) masing-masing hanya 1/36, sekitar 0.028. Ini menjawab pertanyaan awal: 7 muncul enam kali lebih sering daripada 2, dan enam kali lebih sering daripada 12. Distribusi jumlah berbentuk tenda: naik dengan langkah sama sampai 7, lalu turun dengan langkah sama.

JumlahCaraPeluang
211/36
322/36
433/36
544/36
655/36
766/36
855/36
944/36
1033/36
1122/36
1211/36

Dua puluh satu pasangan tak berurutan tidak sama mungkin

Kesalahan umum adalah mengatakan 7 dapat dibentuk dari 1 dan 6, 2 dan 5, atau 3 dan 4, jadi ada tiga cara, sedangkan 2 memiliki satu cara, dari 21 pasangan tak berurutan. Ke-21 pasangan itu tidak sama mungkin. Pasangan "3 dan 4" bisa terjadi sebagai merah 3, biru 4, atau merah 4, biru 3, sedangkan "2 dan 2" hanya satu cara. Hanya ke-36 hasil berurutan yang sama mungkin, jadi itulah yang dihitung. Meskipun kedua dadu tampak sama, keduanya tetap benda terpisah.

Latar belakangPada awal 1600-an, Galileo diminta menjelaskan hal yang diamati pemain dadu setelah banyak permainan dengan tiga dadu. Jumlah 9 dan 10 masing-masing bisa dibentuk dari enam himpunan bilangan, jadi mengapa 10 lebih sering muncul daripada 9? Esai singkat Galileo, "Tentang penyelidikan dadu", menjawab seperti cara kita dengan dua dadu. Tiga bilangan berbeda, misalnya 6, 3, dan 1, bisa muncul dalam enam urutan; dengan dua bilangan sama, misalnya 6, 2, dan 2, ada tiga urutan; tiga bilangan sama hanya satu. Dengan menjumlahkan urutan, ia menemukan bahwa 10 dapat muncul dalam 27 cara dan 9 hanya 25, dari 216.

Angka Galileo memberi P(10) = 27/216 = 0.125 dan P(9) = 25/216, sekitar 0.116. Selisihnya sekitar satu lemparan dari seratus, jadi para pemain pasti bermain banyak untuk menyadarinya. Dengan tiga dadu, bentuk jumlah tidak lagi tenda. Bentuknya lebih membulat, dengan puncak datar pada 10 dan 11, sudah menyerupai kurva lonceng yang akan kamu temui di papan Galton.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Batang menunjukkan frekuensi setiap jumlah; garis tipis pada setiap batang adalah peluang tepat dari 36 hasil. Lempar 10,000 dan batang mengikuti bentuk tenda. Beralih ke 3 dadu untuk memeriksa angka Galileo, 27 dan 25.
Coba: pilih 3 dadu, lempar 10,000 kali, lalu bandingkan batang pada 9 dan 10. Nilai tepatnya 25/216 ≈ 0.116 dan 27/216 = 0.125, jadi dengan 10,000 lemparan selisih biasanya terlihat tetapi kecil.
Hasil untuk dua dadu6 × 6 = 36 pasangan berurutan
P(jumlah = 7)6/36 = 1/6
P(jumlah = 2)1/36
Tiga dadu: cara menghasilkan 10 dan 927 dan 25 dari 216 (Galileo)
  1. Dua dadu. Berapa P(jumlah = 7)?
  2. Dua dadu. Berapa P(jumlah = 2)?
  3. Dua dadu. Ada berapa cara memperoleh jumlah 8?
  4. Dua dadu. Berapa P(jumlah 10 atau lebih)?
  5. Dua dadu. Berapa P(angka kembar)?
  6. Ada berapa hasil sama mungkin untuk tiga dadu?
  7. Tiga dadu. Ada berapa cara memperoleh jumlah 10?
  8. Tiga dadu. Berapa P(jumlah = 10) sebagai desimal?
  9. Mengapa ke-21 pasangan tak berurutan tidak boleh dianggap sama mungkin?
    • Dadu tidak pernah adil
    • Sepasang angka berbeda dapat muncul dalam dua urutan, sedangkan pasangan kembar hanya satu
    • Sebenarnya ada 30 pasangan
    • Semua jumlah sama mungkin muncul
  10. Berapa rata-rata jumlah dua dadu adil setelah banyak lemparan?
Kesalahan umum
  • "Ada 11 kemungkinan jumlah, dari 2 sampai 12, jadi peluang masing-masing 1/11, dan 2 serta 12 sama mungkinnya dengan 7." Ke-11 jumlah itu tidak sama peluangnya; yang sama peluangnya adalah 36 hasil berurutan. Jumlah 7 memiliki 6 hasil (6/36), sedangkan 2 dan 12 masing-masing hanya satu (1/36). Jadi, 7 enam kali lebih mungkin daripada keduanya, dan 1/11 (sekitar 0.091) salah untuk semua jumlah.
  • "11 membutuhkan 5 dan 6, sedangkan 12 membutuhkan dua angka 6, jadi peluang 11 dan 12 sama." 11 dapat berupa (5, 6) atau (6, 5), dua hasil, sehingga P(11) = 2/36. 12 hanya berupa (6, 6), sehingga P(12) = 1/36. Peluang 11 dua kali lebih besar.
  • "Lempar dua dadu 36 kali dan angka 7 akan muncul 6 kali." 6 dari 36 adalah proporsi jangka panjang, bukan jadwal pasti. Dalam 36 lemparan, jumlah 7 bisa muncul tiga atau sembilan kali. Baru setelah banyak lemparan proporsinya mendekati 1/6.
Catatan untuk guruIni pelajaran pertama yang menghasilkan jawaban berbeda saat urutan diperhitungkan dan saat diabaikan. Gunakan dua dadu berbeda warna, atau warnai dadunya, lalu buat tabel 6 × 6 bersama sebelum memakai rumus. Mengisinya dengan tangan memperlihatkan enam jumlah 7 pada diagonal. Kurikulum SMP Korea membatasi pencacahan pada penjumlahan atau perkalian dua banyaknya kemungkinan, sedangkan permutasi dan kombinasi dipelajari di SMA. Jadi, tabel tepat digunakan pada tahap ini. Untuk tiga dadu, 216 sel terlalu banyak untuk satu tabel; cukup tunjukkan cara Galileo menghitung urutan setiap kelompok angka.
Poin penting
  • Dua dadu: 36 hasil berurutan dengan peluang sama.
  • Banyak cara untuk jumlah 2 sampai 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
  • Hitung hasil dengan memperhatikan urutan, meskipun kedua dadu tampak sama.
  • Tiga dadu: 216 hasil; jumlah 10 dalam 27 cara, jumlah 9 dalam 25 cara (Galileo).
Sumber kursus ini (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Diperiksa: 2026-10-17