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Dois dados e a soma sete

Dois dados podem cair de 36 maneiras equiprováveis, e 6 delas somam 7, mais do que qualquer outra soma.

Aposte numa soma de 2, 7 ou 12: qual você escolheria?

Antes de continuar, tente responder. Você lança dois dados e soma os resultados. Pode apostar numa soma de 2, 7 ou 12. Qual escolhe? E quantas vezes mais espera que sua soma apareça em comparação com cada uma das outras? Anote seu palpite. Um palpite sincero seria que as três são equiprováveis, pois cada uma é apenas um número entre 2 e 12. Outro seria que 7 vence, mas por pouco. A contagem resolve a questão, e a diferença não é pequena.

Em jogos de tabuleiro que usam a soma de dois dados, parece que 7 sai o tempo todo. E sai mesmo; a contagem explica por quê. Pinte um dado de vermelho e o outro de azul. O vermelho tem 6 faces possíveis, e o azul também. Portanto, o par tem 6 × 6 = 36 resultados, de (1, 1) a (6, 6). Os 36 são equiprováveis. As somas não: para somar 2, só serve (1, 1); para somar 7, servem (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) ou (6, 1).

Os 36 resultados de dois dados com suas somas. Os números vermelhos na lateral correspondem ao dado vermelho; os azuis no topo, ao azul. As seis células laranja na diagonal são as maneiras de obter 7.

Lendo a tabela pelas diagonais, temos a quantidade de maneiras para cada soma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 para as somas de 2 a 12. Elas totalizam 36, como deve ser. Assim, P(soma = 7) = 6/36 = 1/6, aproximadamente 0.167; já P(soma = 2) e P(soma = 12) são apenas 1/36 cada, aproximadamente 0.028. Isso responde à pergunta inicial: 7 sai seis vezes mais que 2 e seis vezes mais que 12. A distribuição da soma tem formato de tenda: sobe em passos iguais até 7 e depois desce em passos iguais.

Soma	Maneiras	Probabilidade
2	1	1/36
3	2	2/36
4	3	3/36
5	4	4/36
6	5	5/36
7	6	6/36
8	5	5/36
9	4	4/36
10	3	3/36
11	2	2/36
12	1	1/36

Vinte e um pares não ordenados não são equiprováveis

Um erro comum é dizer que 7 pode ser formado por 1 e 6, 2 e 5 ou 3 e 4, portanto tem três maneiras, enquanto 2 tem uma, entre 21 pares não ordenados. Esses 21 pares não são equiprováveis. O par «3 e 4» pode ocorrer como vermelho 3 e azul 4 ou vermelho 4 e azul 3; já «2 e 2» só ocorre de uma maneira. Somente os 36 resultados ordenados são equiprováveis, então são eles que devemos contar. Mesmo que os dados pareçam idênticos, a natureza os trata como dois objetos separados.

ContextoNo início dos anos 1600, pediram a Galileu que explicasse algo observado por jogadores após muitas partidas com três dados. As somas 9 e 10 podem ser formadas por seis conjuntos diferentes de números cada. Então por que os jogadores notavam que 10 saía mais que 9? O breve ensaio de Galileu «Sobre as investigações dos dados» responde exatamente como fizemos com dois dados. Um conjunto de três números diferentes, como 6, 3 e 1, pode sair em seis ordens; um conjunto com dois números iguais, como 6, 2 e 2, em três; e três números iguais, em apenas uma. Somando as ordens, ele descobriu que 10 pode sair de 27 maneiras e 9 de apenas 25, entre 216.

Os números de Galileu dão P(10) = 27/216 = 0.125 e P(9) = 25/216, aproximadamente 0.116. A diferença é de cerca de um lançamento em cem, então os jogadores devem ter jogado muito para percebê-la. Com três dados, a forma da soma deixa de ser uma tenda. Ela fica mais arredondada, com topo plano em 10 e 11, já parecida com a curva de sino que você verá no tabuleiro de Galton.

Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

As barras mostram a frequência de cada soma; a linha fina sobre cada barra indica a probabilidade exata entre os 36 resultados. Lance 10.000 vezes e as barras se alinharão com a tenda. Mude para 3 dados para conferir os 27 e 25 de Galileu.

Experimente: escolha 3 dados, lance 10.000 vezes e compare as barras em 9 e 10. Os valores exatos são 25/216 ≈ 0.116 e 27/216 = 0.125. Com 10.000 lançamentos, a diferença costuma ser visível, mas pequena.

Resultados de dois dados	6 × 6 = 36 pares ordenados
P(soma = 7)	6/36 = 1/6
P(soma = 2)	1/36
Três dados: maneiras de obter 10 e 9	27 e 25 entre 216 (Galileu)

Dois dados. Qual é P(soma = 7)?
Dois dados. Qual é P(soma = 2)?
Dois dados. De quantas maneiras a soma pode ser 8?
Dois dados. Qual é P(soma de pelo menos 10)?
Dois dados. Qual é P(faces iguais)?
Quantos resultados equiprováveis existem para três dados?
Três dados. De quantas maneiras a soma pode ser 10?
Três dados. Qual é P(soma = 10), em decimal?
Por que não podemos contar os 21 pares não ordenados como equiprováveis?
- Dados nunca são equilibrados
- Um par de números diferentes pode sair em duas ordens; um par igual, em uma
- Na verdade, há 30 pares
- Todas as somas são equiprováveis
Qual é a soma média de dois dados equilibrados após muitos lançamentos?

Erros comuns

«Há 11 somas possíveis, de 2 a 12, então cada uma tem probabilidade 1/11, e 2 e 12 são tão prováveis quanto 7.» As 11 somas não são equiprováveis; os 36 resultados ordenados são. A soma 7 tem 6 deles (6/36), enquanto 2 e 12 têm um cada (1/36). Portanto, 7 é seis vezes mais provável que cada uma delas, e 1/11 (aproximadamente 0.091) está errado para todas as somas.
«11 precisa de um 5 e um 6, e 12 precisa de dois 6, então 11 e 12 são equiprováveis.» 11 sai como (5, 6) ou (6, 5), dois resultados, então P(11) = 2/36. 12 só sai como (6, 6), então P(12) = 1/36. 11 é duas vezes mais provável.
«Lance dois dados 36 vezes e 7 sairá 6 vezes.» 6 em 36 é a proporção de longo prazo, não um cronograma. Em 36 lançamentos, 7 pode sair três ou nove vezes. Só depois de muitos lançamentos a proporção de setes se estabiliza perto de 1/6.

Nota do professorEsta é a primeira lição em que contar com ou sem considerar a ordem dá respostas diferentes. Use dois dados de cores distintas, ou pinte-os, e construa a tabela 6 × 6 com os alunos antes de apresentar fórmulas. Preenchê-la à mão torna visíveis os seis setes na diagonal. O currículo coreano do ensino fundamental II limita a contagem à adição ou multiplicação de duas contagens e deixa permutações e combinações para o ensino médio. Por isso, a tabela é a ferramenta adequada aqui. Para três dados, 216 células são demais numa só tabela; basta mostrar como Galileu contou as ordens de cada conjunto.

Pontos-chave

Dois dados: 36 resultados ordenados equiprováveis.
Maneiras de obter as somas de 2 a 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
Conte resultados ordenados, mesmo quando os dados parecem idênticos.
Três dados: 216 resultados; 10 de 27 maneiras, 9 de 25 (Galileu).

Fontes deste curso (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
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Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Data de verificação: 2026-10-17