NÃO, OU e E
A chance de pelo menos um seis em quatro lançamentos de um dado é 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, aproximadamente 0.518.
Duas apostas com dados que pareciam iguais em 1654
Contar resultados um por um funciona para um ou dois dados. A primeira aposta de de Méré já tem 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296 resultados; a segunda tem muito mais. Três regras resolvem a maioria das questões desse tamanho: a regra do complementar para NÃO, a da adição para OU e a da multiplicação para E. Elas também respondem a perguntas pequenas, como a chance de tirar copas ou um rei de um baralho.
«Pelo menos um seis» é tudo, exceto «nenhum seis»
O complementar de um evento A, escrito A′, contém todos os resultados que não estão em A. Como A e A′ cobrem juntos todo o espaço amostral, sem sobreposição, P(A) + P(A′) = 1, portanto P(A′) = 1 − P(A). Para um dado, P(não sair seis) = 1 − 1/6 = 5/6. A regra do complementar é a melhor ferramenta para perguntas com «pelo menos um», porque «pelo menos um seis» é o complementar de «nenhum seis», e calcular «nenhum seis» é fácil.
Par ou menor que quatro, contando o 2 uma só vez
Um resultado pertence a «A OU B» se estiver em A, em B ou em ambos. Somar P(A) e P(B) conta duas vezes os resultados comuns, então os subtraímos uma vez: P(A OU B) = P(A) + P(B) − P(A E B). O OpenStax usa um dado com A = par = {2, 4, 6} e B = menor que quatro = {1, 2, 3}. Só o 2 está nos dois. Assim, P(A OU B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, o mesmo que contar {1, 2, 3, 4, 6} diretamente. Se dois eventos não podem ocorrer juntos, são mutuamente exclusivos, P(A E B) = 0, e a regra vira uma soma simples.
Para lançamentos independentes, multiplique 5/6 quatro vezes
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não muda a chance do outro, como lançamentos separados de um dado ou de uma moeda. Para eventos independentes, P(A E B) = P(A) × P(B). Duas caras em dois lançamentos: 1/2 × 1/2 = 1/4. Nenhum seis em quatro lançamentos: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Logo, pelo menos um seis em quatro lançamentos é 1 − 625/1296 = 671/1296, aproximadamente 0.518, um pouco mais da metade. Por isso de Méré ganhava a primeira aposta. Quando os eventos não são independentes, como tirar cartas sem devolvê-las, a regra da multiplicação exige probabilidade condicional, assunto da próxima lição.
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| Regra do complementar | P(A′) = 1 − P(A) |
| Regra da adição | P(A OU B) = P(A) + P(B) − P(A E B) |
| Mutuamente exclusivos | Não podem ocorrer juntos: P(A E B) = 0 |
| Eventos independentes | P(A E B) = P(A) × P(B) |
| Pelo menos um | 1 − P(nenhum) |
- Um dado. Qual é P(não sair seis)?
- P(chuva) = 0.35. Qual é P(não chover)?
- Um dado. A = par, B = menor que quatro. Qual é P(A OU B)?
- Um baralho comum de 52 cartas. Qual é P(copas OU rei)?
- Qual par de eventos é mutuamente exclusivo num lançamento de dado?
- Par e maior que 3
- Sair 1 e sair 6
- Ímpar e menor que 4
- Par e sair 2
- Três moedas equilibradas. Qual é P(pelo menos uma cara)?
- Pelo menos um seis em quatro lançamentos de dado, com 3 casas decimais?
- Pelo menos um par de seis em 24 lançamentos de dois dados, com 3 casas decimais?
- Eventos independentes com P(A) = 0.3 e P(B) = 0.5. Qual é P(A E B)?
- Por que de Méré errou ao tratar as duas apostas como iguais?
- Os dados eram viciados
- As chances de «pelo menos um» não crescem proporcionalmente ao número de tentativas
- Dois dados têm 30 resultados
- As apostas tinham valores diferentes
- «Dois dados: P(pelo menos um seis) = 1/6 + 1/6 = 1/3.» O par de seis (6, 6) foi contado duas vezes. A regra da adição o subtrai uma vez: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, aproximadamente 0.306. O complementar dá a mesma resposta: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
- «Seis lançamentos garantem um seis: 6 × 1/6 = 1.» Multiplicar a chance pelo número de tentativas leva o erro de de Méré ainda mais longe. A probabilidade de nenhum seis em seis lançamentos é (5/6)⁶, aproximadamente 0.335; portanto, a de pelo menos um seis é aproximadamente 0.665, não 1.
- «Eventos mutuamente exclusivos são independentes.» É quase o contrário. Num dado, «par» e «ímpar» não podem ocorrer juntos, então P(ambos) = 0, enquanto P(par) × P(ímpar) = 1/4. Saber que um ocorreu garante que o outro não ocorreu, o que indica forte dependência.
- «O complementar de 'pelo menos um seis' é 'seis em todos os lançamentos'.» O complementar é «nenhum seis». «Seis em todos os lançamentos» é um dos resultados dentro de «pelo menos um seis», não fora dele.
- NÃO: P(A′) = 1 − P(A). Use para «pelo menos um».
- OU: P(A) + P(B) − P(A E B); mutuamente exclusivos significa sem sobreposição.
- E para eventos independentes: multiplique.
- Um seis em 4 lançamentos ≈ 0.518; par de seis em 24 lançamentos ≈ 0.491.
Fontes deste curso (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
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Data de verificação: 2026-10-17