「でない」「または」「かつ」

サイコロを四回振って少なくとも一回六が出る確率は、1 − (5/6)⁴ = 671/1296で、約0.518です。

1654年、同じに見えた二つのサイコロの賭け

背景1654年の夏、ブレーズ・パスカルは、シュヴァリエ・ド・メレことアントワーヌ・ゴンボーから受けた質問についてピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。一つは二つの賭けに関するものでした。サイコロを四回振り、少なくとも一回六が出るほうに賭けると有利で、パスカルはその比を「671対625」と書いています。一方、二個を24回振って少なくとも一回六のぞろ目が出る賭けも、24対36は4対6と同じなので、拡大しただけに見えました。しかしこちらは不利でした。余事象の公式で説明できます。1 − (35/36)²⁴は約0.491で、半分を少し下回ります。その夏の往復書簡は、主に未完のゲームの賭け金の分配を論じたもので、通常は確率論の出発点とされています。

サイコロ一個や二個なら、結果を一つずつ数えられます。しかしド・メレの最初の賭けだけでも6 × 6 × 6 × 6 = 1,296通りあり、二つ目はさらに多くなります。この規模の多くの問題は、「でない」の余事象、「または」の加法定理、「かつ」の乗法定理という三つの規則で扱えます。トランプでハートまたはキングを引く確率のような小さな問題にも使えます。

「少なくとも一回六」は「一度も六が出ない」以外のすべてです

事象Aの余事象をA′と書き、Aに含まれないすべての結果を集めます。AとA′は重ならず、合わせると標本空間全体になるので、P(A) + P(A′) = 1、したがってP(A′) = 1 − P(A)です。サイコロ一個ならP(六でない) = 1 − 1/6 = 5/6です。「少なくとも一回六」の余事象は「一度も六が出ない」で、後者は計算しやすいため、「少なくとも一回」には余事象が便利です。

偶数または四未満で、2は一回だけ数えます

「A OR B」に入るのは、AかB、または両方に入る結果です。P(A)とP(B)を足すと、共通部分を二回数えるので、一回分引きます。P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)です。OpenStaxのサイコロの例では、A = 偶数 = {2, 4, 6}、B = 四未満 = {1, 2, 3}です。共通するのは2だけなので、P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6です。{1, 2, 3, 4, 6}を直接数えても同じです。同時に起こらない二つの事象は排反といい、P(A AND B) = 0なので、単純な和になります。

サイコロ一個で、A = {2, 4, 6}とB = {1, 2, 3}の共通部分は2だけです。5はどちらにも入らず、A OR Bの余事象になります。

独立した試行では、5/6を四回掛けます

一方が起こっても他方の確率が変わらないとき、二つの事象は独立といいます。別々のサイコロやコインの試行が例です。独立ならP(A AND B) = P(A) × P(B)です。二回とも表は1/2 × 1/2 = 1/4です。四回とも六以外は5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296です。したがって少なくとも一回六が出る確率は1 − 625/1296 = 671/1296で、約0.518と半分を少し超えます。これがド・メレの最初の賭けが有利な理由です。引いたカードを戻さない場合など独立でない事象では、乗法定理に条件付き確率が必要です。次の授業で扱います。

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サイコロ四個を同時に振ることで、一個を四回振る操作を表します。「少なくとも1個が6」を選んであり、観測割合と正確な671/1296を比べます。「10,000回振る」で、小数第二位ほどまで一致します。

余事象の公式	P(A′) = 1 − P(A)
加法定理	P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
排反	同時には起こりません：P(A AND B) = 0
独立な事象	P(A AND B) = P(A) × P(B)
少なくとも一つ	1 − P(一つもない)

サイコロ一個で、P(六でない)はいくつですか？
P(雨) = 0.35です。P(雨が降らない)はいくつですか？
サイコロ一個で、A = 偶数、B = 四未満です。P(A OR B)はいくつですか？
標準の52枚のトランプで、P(ハート OR キング)はいくつですか？
サイコロを一回振るとき、排反な事象の組はどれですか？
- 偶数と3より大きい目
- 1の目と6の目
- 奇数と4未満の目
- 偶数と2の目
偏りのないコイン三枚で、P(少なくとも一枚が表)はいくつですか？
四回振って少なくとも一回六が出る確率を、小数第3位まで求めましょう。
二個を24回振って少なくとも一回六のぞろ目が出る確率を、小数第3位まで求めましょう。
独立な事象でP(A) = 0.3、P(B) = 0.5です。P(A AND B)はいくつですか？
ド・メレが二つの賭けを同じとしたのは、なぜ誤りですか？
- サイコロに細工があったからです
- 「少なくとも一回」の確率は、試行回数に比例して増えないからです
- サイコロ二個には30通りの結果があるからです
- 賭け金が違ったからです

よくある間違い

「サイコロ二個では、P(少なくとも一個が六) = 1/6 + 1/6 = 1/3です」 六のぞろ目(6, 6)を二回数えています。加法定理で一回引くと、1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36で約0.306です。余事象でも1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36と同じになります。
「六回振れば六が必ず出ます。6 × 1/6 = 1です」 確率に試行回数を掛けるのは、ド・メレの誤りをさらに進めたものです。六回とも六が出ない確率は(5/6)⁶で約0.335なので、少なくとも一回出る確率は約0.665であり、1ではありません。
「排反な事象は独立です」 むしろ反対に近い関係です。サイコロ一個で「偶数」と「奇数」は同時に起こらず、P(両方) = 0ですが、P(偶数) × P(奇数) = 1/4です。一方が起きたとわかれば、他方は起きなかったと確定するので、強く従属しています。
「『少なくとも一回六』の余事象は『毎回六』です」 余事象は「一度も六が出ない」です。「毎回六」は「少なくとも一回六」に含まれる結果で、その外側ではありません。

先生からひとこと公式だけで覚えると、三つの規則は混同しやすくなります。言葉と図を結びつけましょう。「でない」は円の外側を塗る図、「または」は重なる二つの円、「かつ」は樹形図の枝です。理解した後にはド・メレの賭けがよい確認になります。4/6を24/36に拡大する誤った方法が、とても自然に感じられるからです。韓国の教育課程では高校の「確率と統計」で扱い、三つ以上の事象の排反性や独立性を仮定する複雑な問題は避けるようにも記されています。

ポイント

「でない」：P(A′) = 1 − P(A)です。「少なくとも一つ」に使います。
「または」：P(A) + P(B) − P(A AND B)です。排反なら重なりはありません。
独立な事象の「かつ」は掛け算です。
4回で六が出る確率は約0.518、24回で六のぞろ目が出る確率は約0.491です。

このコースの出典 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
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確認日: 2026-10-17