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NO, O e Y

La probabilidad de obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado es 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, aproximadamente 0.518.

Dos apuestas con dados que parecían iguales en 1654

ContextoEn el verano de 1654, Blaise Pascal escribió a Pierre de Fermat sobre preguntas que le había planteado Antoine Gombaud, el caballero de Méré. Una trataba de dos apuestas. Apostar por al menos un seis en cuatro lanzamientos era favorable; Pascal escribió que la ventaja era «de 671 a 625». Apostar por al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dados parecía la misma apuesta ampliada, pues 24 es a 36 como 4 es a 6. Pero era desfavorable. La regla del complemento lo explica: 1 − (35/36)²⁴ es aproximadamente 0.491, algo menos de la mitad. Las cartas de aquel verano, dedicadas sobre todo a repartir lo apostado en una partida sin terminar, suelen considerarse el inicio de la teoría de la probabilidad.

Enumerar resultados funciona con uno o dos dados. La primera apuesta de De Méré ya tiene 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 resultados; la segunda, muchos más. Tres reglas resuelven la mayoría de estas preguntas: complemento para NO, suma para O y multiplicación para Y. También responden preguntas pequeñas, como la probabilidad de sacar un corazón o un rey de una baraja.

«Al menos un seis» es todo salvo «ningún seis»

El complemento de un suceso A, escrito A′, contiene todos los resultados que no están en A. Como A y A′ cubren todo el espacio muestral sin superponerse, P(A) + P(A′) = 1; por tanto, P(A′) = 1 − P(A). Para un dado, P(no sacar seis) = 1 − 1/6 = 5/6. El complemento resulta especialmente útil para «al menos uno»: «al menos un seis» es el complemento de «ningún seis», que es fácil de calcular.

Par o menor que cuatro, contando el 2 una sola vez

Un resultado pertenece a «A O B» si está en A, en B o en ambos. Sumar P(A) y P(B) cuenta dos veces los resultados comunes, así que hay que restarlos una vez: P(A O B) = P(A) + P(B) − P(A Y B). OpenStax usa un dado con A = par = {2, 4, 6} y B = menor que cuatro = {1, 2, 3}. Solo el 2 pertenece a ambos. Así, P(A O B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, igual que contar directamente {1, 2, 3, 4, 6}. Si dos sucesos no pueden ocurrir juntos, son mutuamente excluyentes, P(A Y B) = 0, y basta sumar.

Un dado. A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3} solo comparten el 2. El 5 no pertenece a ninguno y constituye el complemento de A O B.

Con lanzamientos independientes, multiplica 5/6 cuatro veces

Dos sucesos son independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro, como distintos lanzamientos de un dado o una moneda. Para ellos, P(A Y B) = P(A) × P(B). Dos caras en dos lanzamientos: 1/2 × 1/2 = 1/4. Ningún seis en cuatro lanzamientos: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Por tanto, al menos un seis tiene probabilidad 1 − 625/1296 = 671/1296, aproximadamente 0.518, algo más de la mitad. Por eso De Méré ganaba la primera apuesta. Sin independencia, como al sacar cartas sin devolverlas, la multiplicación necesita probabilidad condicional, tema de la próxima lección.

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Cuatro dados a la vez representan cuatro lanzamientos de uno. Está seleccionado «Al menos un 6», y el panel compara la proporción observada con el valor exacto 671/1296. Lanza 10000 veces: ambos coinciden aproximadamente hasta dos decimales.
Regla del complementoP(A′) = 1 − P(A)
Regla de la sumaP(A O B) = P(A) + P(B) − P(A Y B)
Mutuamente excluyentesNo pueden ocurrir juntos: P(A Y B) = 0
Sucesos independientesP(A Y B) = P(A) × P(B)
Al menos uno1 − P(ninguno)
  1. Un dado. ¿Cuánto vale P(no sacar seis)?
  2. P(lluvia) = 0.35. ¿Cuánto vale P(sin lluvia)?
  3. Un dado. A = par, B = menor que cuatro. ¿Cuánto vale P(A O B)?
  4. Baraja estándar de 52 cartas. ¿Cuánto vale P(corazón O rey)?
  5. ¿Qué par de sucesos es mutuamente excluyente al lanzar un dado?
    • Par y mayor que 3
    • Un 1 y un 6
    • Impar y menor que 4
    • Par y un 2
  6. Tres monedas equilibradas. ¿Cuánto vale P(al menos una cara)?
  7. ¿Probabilidad de al menos un seis en cuatro lanzamientos, con 3 decimales?
  8. ¿Probabilidad de al menos un doble seis en 24 lanzamientos de dos dados, con 3 decimales?
  9. Sucesos independientes con P(A) = 0.3 y P(B) = 0.5. ¿Cuánto vale P(A Y B)?
  10. ¿Por qué se equivocó De Méré al considerar iguales las apuestas?
    • Los dados estaban trucados
    • La probabilidad de «al menos uno» no crece proporcionalmente a los intentos
    • Dos dados tienen 30 resultados
    • Las cantidades apostadas eran distintas
Errores frecuentes
  • «Dos dados: P(al menos un seis) = 1/6 + 1/6 = 1/3». El doble seis (6, 6) se ha contado dos veces. La regla de la suma lo resta una vez: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, aproximadamente 0.306. El complemento da lo mismo: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
  • «Seis lanzamientos garantizan un seis: 6 × 1/6 = 1». Multiplicar la probabilidad por los intentos lleva más lejos el error de De Méré. Ningún seis en seis lanzamientos tiene probabilidad (5/6)⁶, aproximadamente 0.335; al menos uno tiene aproximadamente 0.665, no 1.
  • «Los sucesos mutuamente excluyentes son independientes». Es casi lo contrario. En un dado, «par» e «impar» no pueden ocurrir juntos: P(ambos) = 0, mientras P(par) × P(impar) = 1/4. Saber que ocurrió uno garantiza que el otro no ocurrió: hay una fuerte dependencia.
  • «El complemento de ‘al menos un seis’ es ‘seis en todos los lanzamientos’». El complemento es «ningún seis». «Seis en todos» está dentro de «al menos un seis», no fuera.
Nota para docentesSi solo se aprenden como fórmulas, estas reglas se confunden con facilidad. Asocia cada palabra a una imagen: NO con sombrear fuera de un círculo; O con dos círculos superpuestos; Y con ramas de un árbol. Después, las apuestas de De Méré sirven para comprobar lo aprendido: el método incorrecto, pasar de 4/6 a 24/36, parece muy natural. En el currículo coreano, estas reglas pertenecen a Probabilidad y Estadística de secundaria superior, que recomienda evitar problemas complicados con tres o más sucesos mutuamente excluyentes o independientes.
Ideas clave
  • NO: P(A′) = 1 − P(A). Úsalo para «al menos uno».
  • O: P(A) + P(B) − P(A Y B); mutuamente excluyentes significa sin intersección.
  • Y con sucesos independientes: multiplica.
  • Un seis en 4 lanzamientos ≈ 0.518; doble seis en 24 ≈ 0.491.
Fuentes de este curso (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Fecha de consulta: 2026-10-17