edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Вероятность и статистика›Вероятность

НЕ, ИЛИ и И

Вероятность хотя бы одной шестёрки за четыре броска кости равна 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, около 0.518.

Два пари с костями, казавшиеся одинаковыми в 1654 году

КонтекстЛетом 1654 года Блез Паскаль писал Пьеру Ферма о вопросах Антуана Гомбо, шевалье де Мере. Один вопрос касался двух пари. Ставка на хотя бы одну шестёрку за четыре броска одной кости была выгодной; Паскаль писал, что преимущество составляет «671 к 625». Ставка на хотя бы одну двойную шестёрку за 24 броска двух костей казалась тем же пари в большем масштабе, ведь 24 относится к 36 как 4 к 6. Но она была невыгодной. Правило дополнения объясняет почему: 1 − (35/36)²⁴ составляет около 0.491, чуть меньше половины. Переписку Паскаля и Ферма тем летом, в основном о разделе ставок в незавершённой игре, обычно считают началом теории вероятностей.

Перебирать исходы по одному удобно для одной или двух костей. Но уже в первом пари де Мере 6 × 6 × 6 × 6 = 1,296 исходов, а во втором гораздо больше. Большинство таких задач решают три правила: дополнение для НЕ, сложение для ИЛИ и умножение для И. Они годятся и для простых вопросов, например о вероятности вытянуть черву или короля из колоды.

«Хотя бы одна шестёрка» включает всё, кроме «ни одной шестёрки»

Дополнение события A обозначается A′ и содержит все исходы, не входящие в A. События A и A′ вместе покрывают всё пространство исходов и не пересекаются, поэтому P(A) + P(A′) = 1, откуда P(A′) = 1 − P(A). Для одной кости P(не шестёрка) = 1 − 1/6 = 5/6. Правило дополнения особенно удобно для вопросов «хотя бы один»: дополнением «хотя бы одной шестёрки» служит «ни одной шестёрки», а эту вероятность легко вычислить.

Чётное или меньше четырёх, причём 2 считаем один раз

Исход входит в «A OR B», если он входит в A, в B или в оба события. При сложении P(A) и P(B) общие исходы учитываются дважды, поэтому их нужно вычесть один раз: P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B). OpenStax рассматривает одну кость, где A = чётное = {2, 4, 6}, а B = меньше четырёх = {1, 2, 3}. Общий исход только 2. Поэтому P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, что совпадает с прямым подсчётом {1, 2, 3, 4, 6}. Если события не могут произойти вместе, они несовместны, P(A AND B) = 0, и правило сводится к обычной сумме.

Одна кость. A = {2, 4, 6} и B = {1, 2, 3} пересекаются только в 2. Исход 5 не входит ни в одно событие, поэтому составляет дополнение A OR B.

Для независимых бросков умножь 5/6 само на себя четыре раза

Два события независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого, как при отдельных бросках кости или монеты. Для независимых событий P(A AND B) = P(A) × P(B). Два орла за два броска: 1/2 × 1/2 = 1/4. Ни одной шестёрки за четыре броска: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Поэтому вероятность хотя бы одной шестёрки равна 1 − 625/1296 = 671/1296, около 0.518, чуть больше половины. Именно поэтому первое пари де Мере было выгодным. Если события зависимы, например при вытягивании карт без возврата, для правила умножения нужна условная вероятность. Ей посвящён следующий урок.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Четыре кости одновременно заменяют четыре броска одной кости. Выбрано событие «Хотя бы одна 6», а показатели сравнивают наблюдаемую долю с точным значением 671/1296. Нажми «Бросить 10 000»: значения совпадут примерно до двух знаков после точки.
Правило дополненияP(A′) = 1 − P(A)
Правило сложенияP(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
Несовместные событияНе могут произойти вместе: P(A AND B) = 0
Независимые событияP(A AND B) = P(A) × P(B)
Хотя бы один1 − P(ни одного)
  1. Одна кость. Чему равно P(не шестёрка)?
  2. P(дождь) = 0.35. Чему равно P(нет дождя)?
  3. Одна кость. A = чётное, B = меньше четырёх. Чему равно P(A OR B)?
  4. Обычная колода из 52 карт. Чему равно P(черва OR король)?
  5. Какая пара событий несовместна при одном броске кости?
    • Чётное и больше 3
    • Выпала 1 и выпала 6
    • Нечётное и меньше 4
    • Чётное и выпала 2
  6. Три правильные монеты. Чему равно P(хотя бы один орёл)?
  7. Вероятность хотя бы одной шестёрки за четыре броска кости, до 3 знаков после точки?
  8. Вероятность хотя бы одной двойной шестёрки за 24 броска двух костей, до 3 знаков после точки?
  9. Независимые события с P(A) = 0.3 и P(B) = 0.5. Чему равно P(A AND B)?
  10. Почему де Мере ошибался, считая два пари равноценными?
    • Кости были с подгрузкой
    • Вероятность «хотя бы одного» не растёт пропорционально числу попыток
    • У двух костей 30 исходов
    • В пари были разные ставки
Частые ошибки
  • «Две кости: P(хотя бы одна шестёрка) = 1/6 + 1/6 = 1/3». Двойная шестёрка (6, 6) учтена дважды. Правило сложения вычитает её один раз: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, около 0.306. Дополнение даёт тот же ответ: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
  • «Шесть бросков гарантируют шестёрку: 6 × 1/6 = 1». Умножение вероятности на число попыток развивает ошибку де Мере. Вероятность ни одной шестёрки за шесть бросков равна (5/6)⁶, около 0.335. Значит, вероятность хотя бы одной составляет около 0.665, а не 1.
  • «Несовместные события независимы». Скорее наоборот. Для одной кости события «чётное» и «нечётное» не могут произойти вместе, поэтому P(оба) = 0, хотя P(чётное) × P(нечётное) = 1/4. Если одно произошло, другое точно не произошло. Это сильная зависимость.
  • «Дополнение события “хотя бы одна шестёрка” есть “шестёрка каждый раз”». Дополнение: «ни одной шестёрки». «Шестёрка каждый раз» входит в событие «хотя бы одна шестёрка», а не находится вне его.
Заметка для учителяЕсли учить только формулы, эти три правила легко перепутать. Свяжите каждое слово с картинкой: НЕ с закраской всего вне круга, ИЛИ с двумя пересекающимися кругами, И с ветвями дерева. После усвоения правил пари де Мере послужат хорошей проверкой: неверный способ, переход от 4/6 к 24/36, кажется очень естественным. В корейской программе эти правила относятся к старшей школе, к курсу «Вероятность и статистика». Программа также рекомендует избегать сложных задач с предположением о несовместности или независимости трёх и более событий.
Главное
  • НЕ: P(A′) = 1 − P(A). Используй для «хотя бы одного».
  • ИЛИ: P(A) + P(B) − P(A AND B); несовместность означает отсутствие пересечения.
  • И для независимых событий: умножай.
  • Шестёрка за 4 броска ≈ 0.518; двойная шестёрка за 24 броска ≈ 0.491.
Источники курса (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Проверено: 2026-10-17