Условная вероятность и независимость

В выборке OpenStax из 100 человек 13 левшей, но среди 48 женщин их только 4, около 0.083.

Большинство дождливых дней облачны. Верно ли обратное?

Рассмотрим вымышленный месяц из 30 дней. В 5 днях шёл дождь, и 4 из этих 5 были облачными. Всего облачных дней было двенадцать. Значит, большинство дождливых дней были облачными: 4 из 5. Хочется перевернуть утверждение и сказать, что большинство облачных дней были дождливыми. Но это не так: дождь шёл только в 4 из 12 облачных дней, то есть в трети. В обоих вопросах в числителе одни и те же 4 дня. Знаменатели разные, и выбор группы как раз составляет суть условной вероятности.

Новая информация меняет вероятности. Если известно, что карта является фигурой, вероятность короля растёт с 4/52 до 4/12. Вероятность A при условии, что B произошло, записывают P(A | B) и читают «A при условии B». Условие сужает пространство исходов: считаем не среди всех исходов, а только среди входящих в B. Формула: P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B), если P(B) не равно нулю.

В примере OpenStax с костью A означает выпадение 2 или 3, а B означает чётное число. При условии B возможны только 2, 4 и 6, из них только 2 входит в A. Поэтому P(A | B) = 1/3. Формула даёт тот же результат: P(A AND B) = 1/6, P(B) = 3/6, а (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Без условия P(A) тоже равнялась бы 2/6 = 1/3. Это интересное совпадение: здесь знание B не изменило вероятность A.

Одна таблица, три ответа о леворукости

Условные вероятности проще всего увидеть в таблице сопряжённости. Таблица 3.1 OpenStax распределяет случайную выборку из 100 человек по полу, определённому при рождении, и ведущей руке. Всего 13 из 100 являются левшами, поэтому P(L) = 0.13. Среди 52 мужчин 9 левшей, поэтому P(L | M) = 9/52, около 0.173. Среди 48 женщин их 4, поэтому P(L | F) = 4/48, около 0.083. Если поменять условие местами с событием, получится другое число: из 13 левшей 4 женщины, поэтому P(F | L) = 4/13, около 0.308. P(A | B) и P(B | A) редко равны. Их перестановка приводит к ошибке с погодой из начала урока.

В этой выборке ведущая рука и пол зависимы

События A и B независимы, если P(A | B) = P(A): знание о наступлении B ничего нового не говорит об A. В выборке P(L | M) = 0.173 не равно P(L) = 0.13, поэтому у этих 100 человек ведущая рука и пол зависимы. Классический пример независимости: броски монеты. Каков бы ни был первый результат, вероятность орла во втором броске равна 1/2. Зависимость возникает, когда первый результат меняет то, что осталось. Вытянем две карты без возврата: P(первая карта туз) = 4/52. После этого среди 51 карты остаются только 3 туза, поэтому P(вторая карта туз | первая карта туз) = 3/51. Вероятность двух тузов равна 4/52 × 3/51 = 1/221, около 0.0045.

При 100 бросках правильной монеты серия из шести и более обычна

Независимость также объясняет, почему длинные серии не говорят о неполадке. При 100 бросках правильной монеты самая длинная серия одной стороны достигает 6 и более примерно в 81% случаев, а 8 и более примерно в 31%; средняя длина максимальной серии около 7. Люди, которых просят придумать «случайную» последовательность, обычно избегают серий длиннее трёх или четырёх. По этому признаку учителя иногда замечают выдуманные домашние опыты с монетой.