Probabilidade condicional e independência

Numa amostra de 100 pessoas do OpenStax, 13 são canhotas, mas entre as 48 mulheres só 4 são, aproximadamente 0.083.

A maioria dos dias chuvosos é nublada. A maioria dos dias nublados é chuvosa?

Considere um mês inventado de 30 dias. Choveu em 5 deles, e 4 desses 5 estavam nublados. No total, houve doze dias nublados. Portanto, a maioria dos dias chuvosos foi nublada, 4 em 5. É tentador inverter e dizer que a maioria dos dias nublados foi chuvosa. Não foi: só 4 dos 12 dias nublados tiveram chuva, um terço. As duas perguntas põem os mesmos 4 dias no numerador. Mas dividem por grupos diferentes, e escolher esse grupo é o assunto da probabilidade condicional.

Novas informações mudam probabilidades. Se você sabe que uma carta é uma figura, a chance de ser rei sobe de 4/52 para 4/12. A probabilidade de A dado que B ocorreu é escrita P(A | B) e lida «A dado B». A condição reduz o espaço amostral: em vez de contar entre todos os resultados, você conta só os de B. Na fórmula, P(A | B) = P(A E B) ÷ P(B), desde que P(B) não seja zero.

O OpenStax dá um exemplo com dado. Seja A = sair 2 ou 3 e B = sair par. Dado B, as únicas faces possíveis são 2, 4 e 6, e só 2 pertence a A. Portanto, P(A | B) = 1/3. A fórmula confirma: P(A E B) = 1/6, P(B) = 3/6, e (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Sem a condição, P(A) também seria 2/6 = 1/3, uma coincidência que vale notar: aqui, saber B não alterou a chance de A.

Uma tabela, três respostas sobre ser canhoto

Probabilidades condicionais ficam mais claras numa tabela de dupla entrada. A Tabela 3.1 do OpenStax organiza uma amostra aleatória de 100 pessoas por sexo atribuído ao nascer e mão dominante. No total, 13 das 100 são canhotas, então P(L) = 0.13. Entre os 52 homens, 9 são canhotos, então P(L | M) = 9/52, aproximadamente 0.173. Entre as 48 mulheres, 4 são canhotas, então P(L | F) = 4/48, aproximadamente 0.083. Inverter a condição dá outro número: das 13 pessoas canhotas, 4 são mulheres, então P(F | L) = 4/13, aproximadamente 0.308. P(A | B) e P(B | A) raramente são iguais; trocá-las é o erro do exemplo do tempo no início da lição.

Nesta amostra, mão dominante e sexo não são independentes

Eventos A e B são independentes quando P(A | B) = P(A): saber que B ocorreu não traz informação nova sobre A. Na amostra sobre mão dominante, P(L | M) = 0.173 não é igual a P(L) = 0.13, então, nessas 100 pessoas, mão dominante e sexo não são independentes. Lançamentos de moeda são o exemplo clássico de eventos independentes. Seja qual for o resultado do primeiro, o segundo dá cara com probabilidade 1/2. A dependência aparece quando o primeiro resultado muda o que resta. Tire duas cartas sem reposição: P(primeira ser ás) = 4/52. Dado isso, restam só 3 ases entre 51 cartas, então P(segunda ser ás | primeira ser ás) = 3/51. A chance de dois ases é 4/52 × 3/51 = 1/221, aproximadamente 0.0045.

Em 100 lançamentos equilibrados, uma sequência de seis ou mais é o resultado habitual

A independência também explica por que longas sequências não indicam que algo esteja errado. Em 100 lançamentos de uma moeda equilibrada, a maior sequência da mesma face tem comprimento 6 ou mais em cerca de 81% das vezes e 8 ou mais em cerca de 31%; a média da maior sequência fica perto de 7. Pessoas que inventam uma sequência «aleatória» costumam evitar repetições de mais de três ou quatro, uma pista que professores usam para identificar tarefas de lançamentos inventadas.