Probabilidad condicional e independencia
En una muestra de OpenStax de 100 personas, 13 son zurdas; entre las 48 mujeres, solo 4 lo son, aproximadamente 0.083.
La mayoría de los días lluviosos son nublados. ¿La mayoría de los días nublados son lluviosos?
Imagina un mes de 30 días. Llovió en 5, y 4 de esos 5 fueron nublados. En total hubo doce días nublados. La mayoría de los días lluviosos fueron nublados: 4 de 5. Es tentador invertirlo y decir que la mayoría de los días nublados fueron lluviosos. No: solo llovió en 4 de los 12, un tercio. Ambas preguntas ponen los mismos 4 días en el numerador, pero dividen entre grupos distintos. Elegir ese grupo es la clave de la probabilidad condicional.
La información nueva cambia las probabilidades. Si sabes que una carta es una figura, la probabilidad de que sea rey sube de 4/52 a 4/12. La probabilidad de A sabiendo que ocurrió B se escribe P(A | B) y se lee «A dado B». La condición reduce el espacio muestral: cuentas solo los resultados de B, no todos. La fórmula es P(A | B) = P(A Y B) ÷ P(B), siempre que P(B) no sea cero.
OpenStax da un ejemplo con un dado. Sea A = sale 2 o 3 y B = sale par. Dado B, solo pueden salir 2, 4 y 6; de ellos, solo el 2 pertenece a A. Por tanto, P(A | B) = 1/3. La fórmula coincide: P(A Y B) = 1/6, P(B) = 3/6 y (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Sin condición, P(A) también sería 2/6 = 1/3. Vale la pena advertirlo: aquí saber B no cambia la probabilidad de A.
Una tabla, tres respuestas sobre las personas zurdas
Las probabilidades condicionales se ven bien en una tabla de doble entrada. La tabla 3.1 de OpenStax clasifica una muestra aleatoria de 100 personas por sexo asignado al nacer y mano dominante. En total, 13 de 100 son zurdas: P(L) = 0.13. Entre los 52 hombres, 9 son zurdos: P(L | M) = 9/52, aproximadamente 0.173. Entre las 48 mujeres, 4 son zurdas: P(L | F) = 4/48, aproximadamente 0.083. Invertir la condición da otro número: de las 13 personas zurdas, 4 son mujeres; P(F | L) = 4/13, aproximadamente 0.308. P(A | B) y P(B | A) rara vez coinciden; intercambiarlas es el error del clima del inicio.
| Personas diestras | Personas zurdas | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombres | 43 | 9 | 52 |
| Mujeres | 44 | 4 | 48 |
| Total | 87 | 13 | 100 |
En esta muestra, la mano dominante y el sexo no son independientes
A y B son independientes cuando P(A | B) = P(A): saber que ocurrió B no aporta información sobre A. En la muestra, P(L | M) = 0.173 no coincide con P(L) = 0.13; en estas 100 personas, mano dominante y sexo no son independientes. Los lanzamientos de monedas son el ejemplo clásico: salga lo que salga primero, la probabilidad de cara en el segundo es 1/2. Hay dependencia cuando el primer resultado cambia lo que queda. Saca dos cartas sin reposición: P(primera es as) = 4/52; después quedan 3 ases entre 51 cartas, de modo que P(segundo as | primero as) = 3/51. La probabilidad de dos ases es 4/52 × 3/51 = 1/221, aproximadamente 0.0045.
En 100 lanzamientos equilibrados, lo habitual es una racha de seis o más
La independencia explica también por qué las rachas largas no indican un problema. En 100 lanzamientos de una moneda equilibrada, la racha más larga de una misma cara es de 6 o más alrededor del 81% de las veces, y de 8 o más cerca del 31%; su media ronda 7. Quienes inventan una secuencia «aleatoria» suelen evitar rachas de más de tres o cuatro; así detectan algunos docentes las tareas inventadas sobre monedas.
Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.
| P(A | B) | P(A Y B) ÷ P(B): cuenta A solo entre los resultados de B |
| Independiente | P(A | B) = P(A) |
| Sin reposición | Las extracciones posteriores dependen de las anteriores |
| P(A | B) frente a P(B | A) | Suelen ser distintas; no las intercambies |
- Tabla 3.1. ¿Cuánto vale P(L), la probabilidad de que una persona sea zurda?
- Tabla 3.1. ¿Cuánto vale P(L | M)?
- Tabla 3.1. ¿Cuánto vale P(L | F)?
- Tabla 3.1. ¿Cuánto vale P(F | L)?
- Tabla 3.1. ¿Cuánto vale P(R | M), con 4 decimales?
- En la tabla 3.1, ¿son independientes «ser zurdo» y «ser hombre»?
- Sí, porque ambos se refieren a personas
- No, porque P(L | M) ≈ 0.173 difiere de P(L) = 0.13
- Sí, porque la tabla suma 100
- No se puede comprobar
- Un dado. A = 2 o 3, B = par. ¿Cuánto vale P(A | B)?
- Dos cartas sin reposición. ¿P(segundo as | primero as)?
- ¿Cuánto vale P(dos ases) al sacar dos cartas sin reposición?
- Dos dados. Sabiendo que el primero muestra 3, ¿cuánto vale P(suma = 8)?
- «Todos los jugadores del equipo de fútbol llevan zapatillas a la escuela; por eso, quien lleva zapatillas casi seguro pertenece al equipo». Eso intercambia P(zapatillas | equipo) con P(equipo | zapatillas). En un grupo inventado, los 6 jugadores llevan zapatillas: P(zapatillas | equipo) = 1. Pero si 24 estudiantes las llevan, P(equipo | zapatillas) = 6/24 = 1/4.
- «En el mes inventado, P(lluvia | nublado) = 4/30». 4/30 es P(lluvia Y nublado). La condición indica contar solo los 12 días nublados: P(lluvia | nublado) = 4/12 = 1/3. Divide entre el tamaño del grupo condicionado, no entre todos los días.
- «Hay cinco papeletas, dos premiadas. Dos personas sacan una cada una sin devolverla: P(ambas ganan) = 2/5 × 2/5 = 4/25». Tras sacar la primera premiada, queda 1 entre 4 papeletas. P(ambas ganan) = 2/5 × 1/4 = 1/10. La segunda extracción depende de la primera; el segundo factor debe ser una probabilidad condicional.
- «P(A | B) es alta, así que B causa A». Una probabilidad condicional solo describe cantidades. En la tabla 3.1, P(L | M) supera P(L | F), pero la tabla no explica por qué. El currículo coreano también advierte que una probabilidad condicional no implica orden temporal ni causalidad.
- P(A | B) = P(A Y B) ÷ P(B): la condición reduce el espacio muestral.
- P(A | B) y P(B | A) responden preguntas distintas.
- Independencia: P(A | B) = P(A). Monedas, sí; cartas sin reposición, no.
- En 100 lanzamientos equilibrados, una racha máxima cercana a 7 es normal.
Fuentes de este curso (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
- 4.3 binomial distribution
- 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
- Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
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- Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
- Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
- Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")
Fecha de consulta: 2026-10-17