Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

In einer OpenStax-Stichprobe von 100 Personen sind 13 linkshändig, unter den 48 weiblichen Personen jedoch nur 4, also etwa 0.083.

Die meisten Regentage sind bewölkt. Sind die meisten bewölkten Tage regnerisch?

Ein erfundener Monat hat 30 Tage. An 5 Tagen regnet es, und 4 dieser 5 Tage sind bewölkt. Insgesamt sind zwölf Tage bewölkt. Die meisten Regentage sind also bewölkt: 4 von 5. Daraus könnte man vorschnell schließen, die meisten bewölkten Tage seien regnerisch. Doch nur 4 der 12 bewölkten Tage bringen Regen, also ein Drittel. Bei beiden Fragen stehen dieselben 4 Tage im Zähler. Die Nenner beziehen sich aber auf verschiedene Gruppen. Genau um diese Gruppenwahl geht es bei bedingter Wahrscheinlichkeit.

Neue Informationen ändern Wahrscheinlichkeiten. Weißt du, dass eine Karte eine Bildkarte ist, steigt die Wahrscheinlichkeit für einen König von 4/52 auf 4/12. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B schreibt man P(A | B). Die Bedingung verkleinert den Ergebnisraum: Gezählt wird nur noch innerhalb von B. Als Formel: P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B), solange P(B) nicht null ist.

OpenStax verwendet ein Würfelbeispiel: A = Augenzahl 2 oder 3, B = gerade Augenzahl. Unter B kommen nur 2, 4 und 6 infrage; davon gehört nur 2 zu A. Also P(A | B) = 1/3. Die Formel bestätigt das: P(A AND B) = 1/6, P(B) = 3/6, und (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Ohne Bedingung wäre P(A) ebenfalls 2/6 = 1/3. Bemerkenswert ist hier der Zufall, dass die Information B die Wahrscheinlichkeit von A nicht verändert.

Eine Tabelle, drei Antworten zur Linkshändigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden in einer Kreuztabelle besonders anschaulich. OpenStax-Tabelle 3.1 ordnet eine Zufallsstichprobe von 100 Personen nach dem bei Geburt zugewiesenen Geschlecht und ihrer Händigkeit. Insgesamt sind 13 von 100 linkshändig: P(L) = 0.13. Unter den 52 männlichen Personen sind 9 linkshändig: P(L | M) = 9/52, etwa 0.173. Unter den 48 weiblichen Personen sind es 4: P(L | F) = 4/48, etwa 0.083. Die umgekehrte Bedingung liefert einen anderen Wert: Von den 13 linkshändigen Personen sind 4 weiblich. Also P(F | L) = 4/13, etwa 0.308. P(A | B) und P(B | A) sind selten gleich. Sie zu vertauschen ist genau der Wetterfehler vom Anfang.

In dieser Stichprobe sind Händigkeit und Geschlecht nicht unabhängig

A und B sind unabhängig, wenn P(A | B) = P(A): Die Information B sagt nichts Neues über A aus. In der Stichprobe ist P(L | M) = 0.173 nicht gleich P(L) = 0.13. Bei diesen 100 Personen sind Händigkeit und Geschlecht also nicht unabhängig. Münzwürfe sind das klassische Gegenbeispiel: Unabhängig vom ersten Ergebnis beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf beim zweiten Wurf 1/2. Abhängigkeit entsteht, wenn das erste Ergebnis die verbleibende Auswahl ändert. Ziehe zwei Karten ohne Zurücklegen: P(erste Karte Ass) = 4/52. Danach bleiben nur 3 Asse unter 51 Karten, also P(zweite Karte Ass | erste Karte Ass) = 3/51. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse beträgt 4/52 × 3/51 = 1/221, etwa 0.0045.

Bei 100 fairen Münzwürfen ist eine Serie von mindestens sechs üblich

Unabhängigkeit erklärt auch, warum lange Serien kein Warnzeichen sind. Bei 100 Würfen einer fairen Münze ist die längste Serie gleicher Seiten in etwa 81% der Fälle mindestens 6 lang, in etwa 31% mindestens 8; die mittlere längste Serie liegt bei etwa 7. Wer eine „zufällige“ Folge erfindet, vermeidet meist Serien über drei oder vier. Daran erkennen Lehrkräfte mitunter erfundene Münzwurf-Hausaufgaben.