Ergebnisse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeit

Ein fairer Würfel hat sechs Seiten. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Fünf zu würfeln, beträgt daher 2 von 6, etwa 0.333.

Die Vorhersage meldet für morgen 30% Regenwahrscheinlichkeit. Diese Zahl ist erfunden, aber ähnliche hast du schon gehört. Sie verrät nicht, ob du nass wirst. Sie sagt etwas Schwächeres, aber dennoch Nützliches: Regen ist möglich, jedoch weniger wahrscheinlich als kein Regen. Kommt der Bus zu spät? Geht der nächste Freiwurf hinein? Sicher wissen wir es nicht, völlig ahnungslos sind wir aber auch nicht. Wahrscheinlichkeit beschreibt diesen Zwischenzustand mit einer Zahl zwischen 0 und 1. Bei 0 kann das Ereignis niemals eintreten, bei 1 tritt es immer ein. Bei 0.5 sind Eintreten und Nichteintreten gleich wahrscheinlich.

Ein Würfel hat sechs Ergebnisse, und „mindestens eine Fünf“ umfasst zwei davon

Statistikbücher verwenden einige Begriffe, die du genau unterscheiden solltest. Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit ungewissem Ausgang, etwa ein Münzwurf oder Würfeln. Jeder mögliche Ausgang ist ein Ergebnis. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge, geschrieben S. Für eine Münze gilt S = {H, T}, für einen Würfel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein Ereignis ist eine beliebige Gruppe von Ergebnissen, die dich interessiert, bezeichnet mit einem Großbuchstaben. „Mindestens eine Fünf würfeln“ ist das Ereignis E = {5, 6}.

Schere, Stein, Papier ist ein gutes zweites Beispiel. Zwei Personen zeigen jeweils eine von drei Handformen. Die Ergebnismenge enthält daher 3 × 3 = 9 Ergebnisse, von (Stein, Stein) bis (Schere, Schere). Drei sind unentschieden: beide Stein, beide Papier, beide Schere. Wählen beide zufällig, sind die neun Ergebnisse gleich wahrscheinlich, und P(unentschieden) = 3/9 = 1/3. Ob echte Menschen zufällig wählen, ist eine andere Frage. Die folgende Zählregel beruht genau auf dieser Annahme.

Sind alle Ergebnisse der Ergebnismenge gleich wahrscheinlich, lässt sich die Wahrscheinlichkeit durch Zählen bestimmen: P(A) = (Anzahl der Ergebnisse in A) ÷ (Anzahl der Ergebnisse in S). Beim Würfel gilt P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, etwa 0.333. OpenStax verwendet eine Zehncent- und eine Fünfcentmünze: Die Ergebnismenge {HH, HT, TH, TT} enthält vier Ergebnisse. Das Ereignis „genau einmal Kopf“ enthält HT und TH, also beträgt seine Wahrscheinlichkeit 2/4 = 0.5. Beachte, dass HT und TH verschiedene Ergebnisse sind. Es sind zwei verschiedene Münzen. Erst die Unterscheidung, welche Münze was zeigt, macht die vier Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Wirf eine Münze, dann die zweite: Der Baum bekommt eine weitere Ebene

Du kannst Ergebnisse auflisten, ein Baumdiagramm oder ein Venn-Diagramm zeichnen. Listen eignen sich für kleine Experimente. Bäume helfen bei mehrstufigen Experimenten, etwa einem Münzwurf und einem weiteren danach. Jede Stufe ergänzt eine Verzweigungsebene. Ein Pfad von der Wurzel bis zur Spitze ergibt ein Ergebnis. Venn-Diagramme zeigen besonders gut, wie sich Ereignisse überschneiden. Darum geht es später bei ODER und UND.

Die Zählregel setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus. Echte Gegenstände erfüllen das nicht immer. OpenStax berichtet von Lernenden, die bei 250 Würfen einer belgischen Ein-Euro-Münze zu 56% Kopf erhielten. Ein Würfel mit ausgehöhlten Augen kann manche Seiten leicht bevorzugen. Deshalb sind die Augen von Casinowürfeln mit Farbe derselben Dichte wie der Würfel gefüllt. Sind Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich, muss die Wahrscheinlichkeit aus langfristiger Erfahrung statt aus Zählen stammen. Die nächste Einheit erklärt „langfristig“.