Zwei Würfel und die Augensumme sieben
Zwei Würfel haben 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. 6 davon ergeben die Summe 7, mehr als bei jeder anderen Summe.
Auf die Summe 2, 7 oder 12 wetten: Welche wählst du?
Probiere das vor dem Weiterlesen. Du wirfst zwei Würfel, addierst ihre Augen und darfst auf die Summe 2, 7 oder 12 wetten. Welche wählst du? Wie viel häufiger erwartest du deine Summe im Vergleich zu jeder anderen? Notiere deine Vermutung. Eine naheliegende Vermutung: Alle drei sind gleich wahrscheinlich, weil jede nur eine Zahl zwischen 2 und 12 ist. Eine andere: 7 gewinnt, aber nur knapp. Zählen klärt die Frage, und knapp ist es nicht.
Bei Brettspielen mit der Augensumme zweier Würfel scheint ständig 7 zu kommen. Tatsächlich ist sie häufig, und Zählen erklärt es. Male einen Würfel rot und den anderen blau an. Jeder hat 6 mögliche Seiten. Das Paar hat daher 6 × 6 = 36 Ergebnisse, von (1, 1) bis (6, 6). Alle 36 sind gleich wahrscheinlich, die Summen aber nicht. Für 2 braucht man ausschließlich (1, 1), für 7 dagegen (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) oder (6, 1).
Liest du das Raster entlang der Diagonalen, erhältst du die Anzahl der Möglichkeiten je Summe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 für die Summen 2 bis 12. Zusammen ergeben sie wie erwartet 36. Daher ist P(Summe = 7) = 6/36 = 1/6, etwa 0.167. P(Summe = 2) und P(Summe = 12) betragen jeweils nur 1/36, etwa 0.028. Das beantwortet die Anfangsfrage: 7 kommt sechsmal so oft wie 2 und sechsmal so oft wie 12. Die Summenverteilung ist zeltförmig: Sie steigt gleichmäßig bis 7 und fällt danach gleichmäßig.
| Summe | Möglichkeiten | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 |
| 3 | 2 | 2/36 |
| 4 | 3 | 3/36 |
| 5 | 4 | 4/36 |
| 6 | 5 | 5/36 |
| 7 | 6 | 6/36 |
| 8 | 5 | 5/36 |
| 9 | 4 | 4/36 |
| 10 | 3 | 3/36 |
| 11 | 2 | 2/36 |
| 12 | 1 | 1/36 |
Einundzwanzig ungeordnete Paare sind nicht gleich wahrscheinlich
Ein häufiger Fehler: 7 entstehe aus 1 und 6, 2 und 5 oder 3 und 4, also auf drei Arten, während 2 auf eine Art entstehe, unter insgesamt 21 ungeordneten Paaren. Diese 21 Paare sind nicht gleich wahrscheinlich. „3 und 4“ kann als Rot 3, Blau 4 oder Rot 4, Blau 3 auftreten, „2 und 2“ dagegen nur auf eine Art. Nur die 36 geordneten Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Deshalb werden sie gezählt. Auch zwei gleich aussehende Würfel bleiben in der Natur zwei verschiedene Gegenstände.
Galileos Zahlen ergeben P(10) = 27/216 = 0.125 und P(9) = 25/216, etwa 0.116. Der Unterschied beträgt ungefähr einen Wurf unter hundert. Die Spieler müssen viel gespielt haben, um ihn zu bemerken. Mit drei Würfeln ist die Summenverteilung nicht mehr zeltförmig. Sie ist runder, mit flachen Spitzen bei 10 und 11, und ähnelt bereits der Glockenkurve des Galtonbretts.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
| Ergebnisse zweier Würfel | 6 × 6 = 36 geordnete Paare |
| P(Summe = 7) | 6/36 = 1/6 |
| P(Summe = 2) | 1/36 |
| Drei Würfel: Möglichkeiten für 10 und 9 | 27 und 25 von 216 (Galileo) |
- Zwei Würfel. Was ist P(Summe = 7)?
- Zwei Würfel. Was ist P(Summe = 2)?
- Auf wie viele Arten können zwei Würfel die Summe 8 ergeben?
- Zwei Würfel. Was ist P(Summe mindestens 10)?
- Zwei Würfel. Was ist P(Pasch)?
- Wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse haben drei Würfel?
- Auf wie viele Arten können drei Würfel die Summe 10 ergeben?
- Drei Würfel. Was ist P(Summe = 10) als Dezimalzahl?
- Warum darfst du die 21 ungeordneten Paare nicht als gleich wahrscheinlich zählen?
- Würfel sind niemals fair
- Zwei verschiedene Zahlen können in zwei Reihenfolgen fallen, ein Pasch nur in einer
- Es gibt eigentlich 30 Paare
- Alle Summen sind gleich wahrscheinlich
- Wie groß ist die mittlere Augensumme zweier fairer Würfel bei vielen Würfen?
- „Es gibt 11 mögliche Summen, von 2 bis 12. Jede hat daher die Wahrscheinlichkeit 1/11, und 2 und 12 sind genauso wahrscheinlich wie 7.“ Nicht die 11 Summen sind gleich wahrscheinlich, sondern die 36 geordneten Ergebnisse. Zur Summe 7 gehören 6 davon (6/36), zu 2 und 12 jeweils eines (1/36). Somit ist 7 sechsmal so wahrscheinlich wie jede der beiden anderen Summen. 1/11 (etwa 0.091) ist für jede Summe falsch.
- „Für 11 braucht man eine 5 und eine 6, für 12 zwei 6. Also sind 11 und 12 gleich wahrscheinlich.“ 11 entsteht durch (5, 6) oder (6, 5), also zwei Ergebnisse: P(11) = 2/36. 12 entsteht nur durch (6, 6), daher P(12) = 1/36. 11 ist doppelt so wahrscheinlich.
- „Wirft man zwei Würfel 36-mal, fällt die 7 genau 6-mal.“ 6 von 36 ist der langfristige Anteil, kein Zeitplan. Bei 36 Würfen kann die 7 dreimal oder neunmal fallen. Erst bei vielen Würfen nähert sich ihr Anteil 1/6.
- Zwei Würfel: 36 gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse.
- Möglichkeiten für die Summen 2 bis 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
- Zähle geordnete Ergebnisse, auch wenn die Würfel gleich aussehen.
- Drei Würfel: 216 Ergebnisse; 10 auf 27 Arten, 9 auf 25 (Galilei).
Quellen zu diesem Kurs (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
- 4.3 binomial distribution
- 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
- Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
- Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
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- Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")
Abgerufen: 2026-10-17