주사위 두 개와 합 7

주사위 두 개는 같은 확률로 36가지 방법으로 나올 수 있고, 그중 6가지가 합 7로 어느 합보다 많습니다.

합 2, 7, 12 가운데 하나에 건다면 어느 것을 고를까요

읽기 전에 먼저 풀어 보세요. 주사위 두 개를 던져 나온 눈을 더합니다. 합 2, 7, 12 가운데 하나에 걸 수 있다면 어느 것을 고르겠습니까? 고른 합이 다른 두 합보다 몇 배쯤 자주 나올지도 적어 두세요. 2부터 12 사이의 수 하나씩이니 셋이 똑같다고 볼 수도 있고, 7이 조금 낫다고 볼 수도 있습니다. 경우의 수를 세면 답이 나오는데, 차이는 조금이 아닙니다.

두 주사위의 합만큼 말을 움직이는 보드게임을 해 보면 7이 유난히 자주 나오는 것 같습니다. 느낌만이 아니라 실제로 그렇습니다. 주사위 하나를 빨간색, 다른 하나를 파란색으로 칠했다고 합시다. 빨간 주사위의 눈이 6가지, 파란 주사위의 눈이 6가지이므로 곱의 법칙에 따라 두 주사위의 결과는 (1, 1)부터 (6, 6)까지 6 × 6 = 36가지입니다. 이 36가지는 가능성이 모두 같습니다. 두 눈의 합은 그렇지 않습니다. 합이 2가 되는 것은 (1, 1) 하나뿐인데, 합이 7이 되는 것은 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 여섯 가지입니다.

주사위 두 개의 결과 36가지와 그 합입니다. 왼쪽 빨간 수는 빨간 주사위, 위쪽 파란 수는 파란 주사위입니다. 대각선의 주황색 칸 6개가 합 7을 만드는 방법입니다.

표를 대각선 방향으로 읽으면 합 2부터 12까지 각 합이 나오는 경우의 수가 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1입니다. 모두 더하면 36으로 표의 칸 수와 맞습니다. 따라서 P(합 = 7) = 6/36 = 1/6, 약 0.167이고, P(합 = 2)와 P(합 = 12)는 각각 1/36, 약 0.028입니다. 처음 질문의 답은 7이고, 7은 2보다도 12보다도 여섯 배 자주 나옵니다. 친구 셋이 각각 2, 7, 12에 걸고 서른여섯 번 굴린다면, 기대되는 횟수는 2와 12가 1번씩, 7이 6번입니다. 막대그래프로 그리면 천막 모양입니다. 7까지는 한 칸씩 똑같이 올라가고, 7을 지나면 한 칸씩 똑같이 내려갑니다. 합 6과 8도 5가지씩이라 꽤 자주 나오고, 7에서 멀어질수록 드물어집니다.

합	방법 수	확률
2	1	1/36
3	2	2/36
4	3	3/36
5	4	4/36
6	5	5/36
7	6	6/36
8	5	5/36
9	4	4/36
10	3	3/36
11	2	2/36
12	1	1/36

순서 없는 짝 21개는 가능성이 같지 않습니다

「7은 1과 6, 2와 5, 3과 4로 세 가지, 2는 1과 1 한 가지」처럼 순서 없는 짝 21개를 놓고 세고 싶어지기 쉽습니다. 그런데 이 21개는 가능성이 같지 않습니다. 「3과 4」는 빨강 3·파랑 4로도, 빨강 4·파랑 3으로도 나오지만, 「2와 2」는 한 가지로만 나옵니다. 가능성이 같은 것은 순서를 구별한 36가지뿐이니, 세는 것도 그 36가지여야 합니다. 두 주사위가 똑같이 생겨서 눈으로 구별되지 않아도 주사위는 여전히 두 개이고, 결과도 그대로 36가지입니다. 10원짜리 동전과 100원짜리 동전이 서로 다른 동전인 것과 마찬가지입니다.

배경1600년대 초, 갈릴레이는 주사위 세 개로 오래 놀아 본 사람들이 알아챈 일을 설명해 달라는 부탁을 받았습니다. 합 9와 합 10은 둘 다 서로 다른 숫자 조합 여섯 가지로 만들 수 있습니다. 그런데 왜 놀이하는 사람들은 10이 9보다 자주 나온다고 느꼈을까요? 갈릴레이는 짧은 글 「주사위에 관한 고찰」에서 우리가 두 주사위로 한 것과 똑같은 방법으로 이 질문에 답합니다. 6, 3, 1처럼 서로 다른 세 수는 여섯 가지 순서로, 6, 2, 2처럼 두 수가 같으면 세 가지 순서로, 세 수가 모두 같으면 한 가지 순서로만 나옵니다. 이렇게 순서의 수를 모두 더해 보니, 전체 216가지 가운데 10이 나오는 방법은 27가지, 9가 나오는 방법은 25가지뿐이었습니다.

갈릴레이의 수로 계산하면 P(10) = 27/216 = 0.125, P(9) = 25/216, 약 0.116입니다. 차이는 100번 던져 1번 정도이니, 이 차이를 알아챈 사람들은 주사위를 정말 많이 던졌을 겁니다. 갈릴레이의 셈을 직접 따라가 볼 수도 있습니다. 합 9를 만드는 숫자 조합은 (6, 2, 1), (5, 3, 1), (5, 2, 2), (4, 4, 1), (4, 3, 2), (3, 3, 3)이고 순서의 수는 6, 6, 3, 3, 6, 1이라 모두 25가지입니다. 합 10은 (6, 3, 1), (6, 2, 2), (5, 4, 1), (5, 3, 2), (4, 4, 2), (4, 3, 3)이고 순서의 수가 6, 3, 6, 6, 3, 3이라 모두 27가지입니다. 주사위가 세 개가 되면 합의 모양은 더 이상 천막이 아닙니다. 10과 11에서 꼭대기가 평평해지고 전체가 둥글어져서, 6단원 갈톤 보드에서 볼 종 모양을 벌써 닮아 갑니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

막대는 각 합이 나온 비율이고, 막대마다 가로로 그은 가는 선은 36가지 결과로 구한 정확한 확률입니다. 「10,000번」을 누르면 막대가 천막 모양에 맞춰집니다. 주사위 3개로 바꿔 갈릴레이의 27과 25도 확인해 보세요.

해 보세요. 주사위 3개를 고르고 10,000번 굴린 뒤 9와 10의 막대를 비교해 보세요. 정확한 값은 25/216 ≈ 0.116과 27/216 = 0.125입니다. 그래서 10,000번을 굴리면 보통 두 막대의 차이가 눈에 보이기는 하지만 그 차이는 작습니다.

주사위 두 개의 결과 수	순서쌍 6 × 6 = 36가지
P(합 = 7)	6/36 = 1/6
P(합 = 2)	1/36
주사위 세 개: 10과 9를 만드는 방법	216가지 중 27과 25(갈릴레이)

주사위 두 개. 합이 7일 확률은?
주사위 두 개. 합이 2일 확률은?
주사위 두 개. 합 8은 몇 가지 방법으로 나오나요?
주사위 두 개. 합이 10 이상일 확률은?
주사위 두 개. 두 눈이 같을 확률은?
주사위 세 개의 같은 확률 결과는 몇 가지인가요?
주사위 세 개. 합 10은 몇 가지 방법으로 나오나요?
주사위 세 개. 합이 10일 확률을 소수로 쓰면?
순서 없는 짝 21개를 같은 확률로 셀 수 없는 이유는?
- 주사위는 절대 공정하지 않아서
- 서로 다른 두 수는 두 순서로, 같은 두 수는 한 순서로만 나와서
- 실제 짝은 30개라서
- 모든 합이 같은 확률이라서
공정한 주사위 두 개를 여러 번 굴릴 때 합의 평균은?

자주 하는 실수

「합은 2부터 12까지 11가지이니 각각 1/11이고, 2나 12도 7만큼 나온다.」 가능성이 같은 것은 합 11가지가 아니라 순서쌍 36가지입니다. 합 7은 그중 6가지(6/36)이고 2와 12는 한 가지씩(1/36)입니다. 7이 여섯 배 잘 나오고, 1/11(약 0.091)은 어느 합에도 맞지 않습니다.
「11은 5와 6, 12는 6과 6으로 한 가지씩이니 11과 12는 똑같이 나온다.」 11은 (5, 6)과 (6, 5) 두 가지로 나오니 P(11) = 2/36이고, 12는 (6, 6) 하나뿐이라 P(12) = 1/36입니다. 11이 두 배 잘 나옵니다.
「주사위 두 개를 36번 던지면 7이 꼭 6번 나온다.」 36번 중 6번은 오래 던졌을 때의 비율이지 정해진 일정이 아닙니다. 36번 던지면 7이 세 번 나올 수도, 아홉 번 나올 수도 있습니다. 아주 많이 던져야 7의 비율이 1/6 근처에 자리를 잡습니다. 실험실에서 「100번」을 몇 번 눌러 보면 7의 막대가 가는 선 위아래로 오르내리는 것이 보입니다.

선생님 메모순서를 구별해 세느냐 마느냐가 처음으로 답을 바꾸는 단원입니다. 색이 다른 주사위 두 개를 쓰거나 주사위에 색을 칠해 구별하게 하고, 식보다 먼저 6 × 6 표를 함께 채우세요. 손으로 채우다 보면 합 7이 대각선으로 여섯 칸 늘어선 것이 눈에 들어옵니다. 2022 개정 교육과정 중학교 1~3학년군 [9수04-05]의 해설은 경우의 수를 두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도로만 다루고, 순열과 조합으로 풀어야 하는 복잡한 문제는 다루지 않는다고 적고 있습니다. 「경우의 수」는 교수·학습 상황에서 쓸 수 있는 용어로 따로 적혀 있습니다. 주사위 세 개의 216가지는 표 하나로 보기 어려우니, 갈릴레이처럼 숫자 조합마다 순서가 몇 가지인지 세는 방법을 보여 주는 정도면 충분합니다.

핵심 정리

주사위 두 개: 같은 확률의 순서쌍 36가지.
합 2~12의 방법 수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
똑같아 보이는 주사위도 순서를 구별해 셈.
주사위 세 개: 216가지, 10은 27가지, 9는 25가지(갈릴레이).

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17