큰 수의 법칙

존 케리치는 제2차 세계대전 중에 동전을 10,000번 던져 앞면 5,067번, 비율 0.5067을 얻었습니다.

앞면이 다섯 번 연달아 나왔으면 이번에는 뒷면 차례일까요

앞면이 다섯 번 연달아 나오면 이번에는 뒷면이 나올 차례라는 느낌이 듭니다. 이런 생각을 도박사의 오류라고 부릅니다. 큰 수의 법칙과 비슷하게 들려서 더 헷갈립니다. 큰 수의 법칙은 맞는 말입니다. 하지만 바로 다음 한 번에 대해서는 아무것도 말해 주지 않고, 앞면과 뒷면의 개수를 맞추어 주지도 않습니다. 이 법칙이 실제로 무엇을 말하는지부터 봅시다.

앞면이 나올 확률이 1/2인 동전도 서너 번씩 연달아 앞면이 나오는 일이 잦습니다. 확률은 몇 번 던져 본 결과를 설명하는 수가 아니라, 같은 시행을 아주 많이 되풀이했을 때 어떻게 되는지를 말해 주는 수이기 때문입니다. (사건이 일어난 횟수) ÷ (시행 횟수)로 구하는 비율을 상대도수라고 합니다. 중학교 1~3학년군에서 도수분포표와 함께 배우는 그 상대도수입니다. 큰 수의 법칙은 시행 횟수가 늘어날수록 상대도수가 수학적 확률에 점점 가까워지는 경향이 있다는 법칙입니다.

배경존 케리치는 수학자였습니다. 1940년 독일이 덴마크를 점령했을 때 마침 코펜하겐에 있었던 케리치는 전쟁이 끝날 때까지 수용소에서 지내야 했습니다. 시간은 넉넉했고, 함께 수용된 에릭 크리스텐센이 있었습니다. 두 사람은 여러 가지 확률 실험을 했는데, 가장 잘 알려진 것이 동전을 10,000번 던진 실험입니다. 던지는 동안 앞면이 나온 누적 횟수를 계속 적어 나갔고, 마지막 결과는 앞면 5,067번, 뒷면 4,933번이었습니다. 나무 원판 일부를 납으로 덮어 일부러 치우치게 만든 동전도 던져 보았는데, 이 동전도 던질수록 앞면 비율이 차츰 안정되어 70% 근처에 자리를 잡았습니다. 케리치는 1946년에 결과를 발표했습니다. 컴퓨터로 손쉽게 시뮬레이션할 수 있게 되기 전까지, 이 실험은 큰 수의 법칙을 설명할 때 가장 먼저 꺼내는 예였습니다.

케리치의 앞면은 67번 많았지만 비율은 0.0067만 어긋났습니다

케리치의 앞면 비율은 5,067 ÷ 10,000 = 0.5067로, 0.5와 겨우 0.0067 차이입니다. 개수로 따지면 이야기가 다릅니다. 「기대한」 5,000번보다 앞면이 67번 많았습니다. 이 법칙에서 뜻밖이라고 느끼기 쉬운 대목이 여기입니다. 계속 던져도 앞면 수와 던진 횟수의 절반 사이의 차이는 0으로 줄어들지 않고, 오르내리다가 오히려 커지는 일이 많습니다. 줄어드는 것은 그 차이를 던진 횟수로 나눈 값입니다. 초반에 운이 좋았던 몫을 나중에 되갚는 것이 아닙니다. 그 뒤에 이어지는 엄청나게 많은 시행 속에 묻혀서, 비율에 거의 영향을 주지 못하게 될 뿐입니다.

도박사의 오류가 틀린 까닭도 같습니다. 앞면이 다섯 번 연달아 나온 뒤에도 공정한 동전을 한 번 더 던져 앞면이 나올 확률은 1/2입니다. 동전은 지난 결과를 기억하지 못하고, 누구에게 뒷면을 빚지지도 않습니다. 수천 번을 던지고 나면 초반의 다섯 번 연속 앞면은 눈에 띄지도 않는 작은 조각이 됩니다. 가위바위보에서 친구가 세 번 연달아 바위를 냈다고 해서 다음에 바위를 낼 확률이 줄어드는 것도 아닙니다. 사람에게는 버릇이 있을 수 있지만, 그 버릇은 사람에 관한 이야기이지 확률의 법칙이 정해 주는 것이 아닙니다.

100번 던지면 앞면 비율은 대개 0.40과 0.60 사이에서 끝납니다

비율이 보통 얼마나 벗어나는지 가늠하는 어림 규칙이 있습니다. 앞면이 나올 확률이 p인 동전을 n번 던지는 실험을 여러 번 하면, 그 가운데 약 95%는 앞면 비율이 p ± 2√(p(1 − p)/n) 안에서 끝납니다. 공정한 동전을 100번 던지면 0.5 ± 2√(0.25/100) = 0.5 ± 0.1이니, 0.40에서 0.60 사이라면 어떤 값이 나와도 이상하지 않습니다. 10,000번이면 띠가 0.5 ± 0.01로 좁아집니다. 케리치의 0.5067은 이 띠 안에 넉넉히 들어가며, 0.5보다 표준편차로 약 1.34개 위일 뿐입니다. 식에 제곱근이 있다는 데 주목하세요. 띠를 10배 좁히려면 10배가 아니라 100배를 던져야 합니다. 동전을 100번 던져 앞면이 58번 나왔다면 0.58은 띠 안이니, 이것만으로 동전을 의심할 근거는 되지 못합니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

음영 띠는 p ± 2√(p(1 − p)/n)입니다. 「1,000번」, 이어서 「10,000번」을 눌러 파란 선이 좁아지는 띠 안으로 자리 잡는 것을 보세요. 「앞면 수 − 기댓값」 줄은 개수 차이를 보여 주는데, 이 값은 자리 잡지 않습니다.

해 보세요. 앞면 확률을 케리치의 납 동전이 자리 잡은 값 근처인 0.70으로 바꾸고 10,000번 던지면, 선은 0.50이 아니라 0.70 근처에 자리를 잡습니다. 큰 수의 법칙은 치우친 동전에서도 성립합니다. 오래 던지면 그 동전이 가진 확률이 드러납니다.

같은 방법으로 OpenStax의 벨기에 1유로 동전도 따져 볼 수 있습니다. 250번 던질 때 공정한 동전의 95% 띠는 0.5 ± 2√(0.25/250) = 0.5 ± 0.063, 대략 0.437에서 0.563입니다. 관찰한 0.56은 띠 안에 있지만 가장자리에 바짝 붙어 있습니다. 그러니 정직한 결론은 「불공정하다는 것이 증명되었다」가 아니라 「치우쳤을 수도 있으니 더 던져 보자」입니다.

상대도수	사건이 일어난 횟수 ÷ 시행 수
큰 수의 법칙	시행이 늘수록 상대도수가 확률에 가까워짐
도박사의 오류	지난 결과가 다음 독립 시행을 바꾼다고 믿는 것
비율의 95% 띠	p ± 2√(p(1 − p)/n)

케리치: 10,000번 중 앞면 5,067번. 앞면 비율은?
케리치의 앞면은 5,000번보다 몇 번 많았나요?
공정한 동전 100번. 95% 띠의 반폭 2√(0.25/100)은?
공정한 동전 10,000번. 95% 띠의 반폭은?
띠의 폭을 절반으로 줄이려면 몇 배 많이 던져야 하나요?
공정한 동전이 5번 연속 앞면이 나왔습니다. 다음에 앞면이 나올 확률은?
250번 중 56%가 앞면이었습니다. 앞면은 몇 번인가요?
주사위를 30번 굴려 6이 7번 나왔습니다. 6의 상대도수를 소수 셋째 자리까지 쓰면?
큰 수의 법칙에 맞는 설명은?
- 앞면이 많이 나오면 뒷면이 나올 확률이 커진다
- 앞면 수와 절반의 차이가 0으로 줄어든다
- 던질수록 앞면 비율이 확률에 가까워진다
- 충분히 던지면 비율이 정확히 0.5가 된다
250번에서 나온 0.56은 공정한 동전의 95% 띠 0.437~0.563 안에 있나요?
- 예, 경계 바로 안쪽
- 아니요, 바깥

자주 하는 실수

「뒷면이 일곱 번 연달아 나왔으니 이번에는 앞면이 나올 차례다.」 동전은 지난 결과를 기억하지 못합니다. 공정한 동전이라면 여덟 번째에 앞면이 나올 확률도 첫 번째와 똑같이 1/2입니다. 큰 수의 법칙은 뒤처진 쪽으로 다음 결과를 밀어 주지 않습니다.
「큰 수의 법칙이 있으니 10번 던지면 앞면이 5번 나와야 한다.」 10번은 큰 수가 아닙니다. 공정한 동전 10번에서 앞면이 정확히 5번일 확률은 252/1024, 약 0.246이라서 대략 네 번 중 세 번은 다른 개수가 나옵니다. 큰 수의 법칙은 아주 많이 던진 뒤의 비율에 관한 법칙입니다.
「1,000번 던져 앞면이 530번 나왔다. 30번 많은데, 계속 던지면 이 30번이 없어질 것이다.」 차이는 줄지 않을 수도 있습니다. 10,000번을 던진 뒤에도 앞면이 30번 많다고 해 봅시다. 비율은 5,030 ÷ 10,000 = 0.503으로, 0.53일 때보다 훨씬 0.5에 가깝습니다. 같은 차이를 더 큰 수로 나누니 비율이 자리를 잡습니다(던진 횟수는 지어낸 예). 30번의 차이는 1,000번일 때 비율로 0.03이지만, 10,000번일 때는 0.003밖에 되지 않습니다.

선생님 메모여기서는 「비율이 자리를 잡는다」와 「개수가 맞춰진다」가 뒤섞입니다. 맞는 것은 앞의 것뿐입니다. 손으로 20~30번 던져 표를 만든 다음, 실험실에서 10,000번을 돌려 「앞면 비율」과 「앞면 수 − 기댓값」 두 줄을 나란히 보는 순서가 잘 맞습니다. 버튼을 누르기 전에 개수 차이가 어떻게 될지 먼저 짐작해 보게 하세요. 2022 개정 교육과정에서 상대도수는 중학교 1~3학년군 [9수04-03]에서 배우고, [9수04-06]의 해설은 확률을 상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미로 연결하게 합니다. 「통계적 확률」과 「큰 수의 법칙」이라는 용어는 고등학교 확률과 통계에서 다루며, 그 고려 사항에는 통계적 확률을 다룰 때 충분히 많은 횟수의 시행을 하기 위해 공학 도구를 이용할 수 있다고 적혀 있습니다.

핵심 정리

상대도수 = 횟수 ÷ 시행 수.
큰 수의 법칙: 비율은 확률에 가까워지지만 개수 차이는 그렇지 않을 수 있음.
95% 띠: p ± 2√(p(1 − p)/n). 100배 던지면 폭은 10분의 1.
독립 시행은 기억이 없음.

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17