갈톤 보드와 종 모양 곡선

못이 10줄 박힌 갈톤 보드에서 공이 가운데 칸에 떨어질 확률은 252/1024, 약 0.246입니다.

못이 10줄 박힌 판에서 공은 어디에 모일까요

아래 판부터 움직여 보세요. 못이 10줄 박힌 판에 공 200개가 이미 떨어져 있습니다. 설명을 읽기 전에 「100개」를 눌러 새 공이 어디로 가는지 지켜보고, 이어서 「1,000개 한꺼번에」를 누르세요. 어느 칸에 가장 많이 모였나요? 그 칸에 전체 공의 몇 분의 몇쯤이 들어 있나요? 두 가지를 적어 두세요. 이 단원은 그 두 수가 어디서 나오는지 설명합니다.

3D 모형을 불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

줄이 10개인 갈톤 보드에 공 200개가 이미 떨어져 있습니다. 「100개」를 눌러 떨어지는 모습을 보거나 「1,000개 한꺼번에」를 눌러 보세요. 빨간 선은 기대 모양으로, 공이 1,000개라면 칸마다 1,000 × C(10, k)/1024입니다. 줄 수나 오른쪽으로 갈 확률을 바꾸면 판이 비워집니다.

못이 촘촘히 박힌 판 맨 위에서 공을 떨어뜨리면, 공은 못에 부딪힐 때마다 왼쪽이나 오른쪽으로 튀고 마지막 줄을 지나 아래 칸 하나에 들어갑니다. 공 하나는 어느 칸으로든 갈 수 있습니다. 그런데 공 수백 개를 떨어뜨리면 매번 같은 모양이 생깁니다. 가운데가 수북하고 양쪽으로 갈수록 낮아지는 더미입니다. 이 장치를 갈톤 보드라고 하고, 콩 기계나 퀸컹스라고도 부릅니다. 앞 단원들의 규칙이 이 판 위에서 그림 하나로 모입니다.

배경프랜시스 갈톤은 유전을 연구한 빅토리아 시대의 과학자입니다. 갈톤은 작고 서로 독립인 효과가 많이 모이면 예측할 수 있는 무늬가 된다는 것을 보여 주려고 이 판을 만들었습니다. 1889년 책 『자연 유전』의 「겉보기 혼돈 속의 질서」라는 절에서 퀸컹스를 설명하며, 오차의 빈도 법칙이 「가장 거친 혼란 속에서 고요하게, 자신을 완전히 감춘 채 다스린다」고 썼습니다. 지금 이 판은 이항분포의 모양과, 그 모양이 정규분포에 가까워지는 모습을 보여 주는 교실 실험 도구로 널리 쓰입니다. 갈톤이 통계를 쓴 방식, 특히 우생학은 오늘날 받아들여지지 않습니다. 이 판이 기억되는 것은 판이 보여 주는 수학 덕분입니다.

5번 칸으로 가는 길은 252가지, 0번 칸으로 가는 길은 한 가지

아래 칸에 왼쪽부터 0, 1, 2, … 번호를 붙입니다. 줄이 n개인 판에서 오른쪽으로 k번 튄 공은 오른쪽과 왼쪽이 어떤 순서로 섞였든 k번 칸에 들어갑니다. 왼쪽과 오른쪽의 확률이 같으면 n번 튀는 길 하나하나의 확률은 (1/2)ⁿ이니, k번 칸의 확률은 (오른쪽이 k번인 길의 수) ÷ 2ⁿ입니다. 줄이 10개면 길은 모두 2¹⁰ = 1,024가지입니다. 0번 칸으로 가는 길은 매번 왼쪽으로 튀는 한 가지뿐이지만, 5번 칸으로 가는 길은 252가지입니다. 그래서 P(5번 칸) = 252/1024, 약 0.246이고, P(0번 칸) = 1/1024는 0.001도 되지 않습니다. 실험실에서 5번 칸에 공의 4분의 1쯤이 모인 것도 이 때문입니다.

이 길의 수가 파스칼의 삼각형에 나오는 수입니다. 파스칼의 삼각형에서 각 수는 바로 위 두 수의 합인데, 못 하나에 이르는 길의 수도 바로 위 못 두 개에 이르는 길의 수를 더한 만큼입니다. n줄에서 오른쪽이 k번인 길의 수를 C(n, k)로 씁니다. 고등학교에서 조합의 수로 배우는 nCk와 같은 수이고, 이항계수라고도 부릅니다. 오른쪽으로 갈 확률이 1/2이 아니라 p라면 오른쪽이 k번인 길 하나의 확률은 pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ이고, P(k번 칸) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ입니다. 이것이 이항분포이며, OpenStax는 4장에서 다룹니다. 이항분포의 평균은 n × p, 표준편차는 √(n p (1 − p))입니다. 줄이 10개이고 p = 0.5면 평균은 5번 칸, 표준편차는 √2.5, 약 1.58칸입니다. 고등학교 교과서식으로 쓰면 이 분포는 B(10, 1/2)입니다. 윷놀이도 같은 계산으로 볼 수 있습니다. 한국민속대백과사전에 따르면 윷가락 네 개 가운데 하나만 뒤집어지면 도, 둘이면 개, 셋이면 걸, 넷이 다 뒤집어지면 윷, 넷이 다 엎어지면 모입니다. 윷가락 하나가 뒤집어질 확률을 1/2로 친다면(실제 윷가락에 맞는지는 알 수 없는 지어낸 가정) 윷가락 네 개는 줄이 4개인 갈톤 보드와 같아서, 모와 윷은 각각 1/16, 도는 4/16입니다.

n = 0부터 6까지의 파스칼의 삼각형입니다. 각 줄의 합은 2ⁿ(오른쪽)입니다. 못이 6줄이면 64가지 길 가운데 20가지가 가운데 칸으로 갑니다.

줄이 10개만 되어도 공의 65.6%가 표준편차 하나 안쪽에 모입니다

줄이 많아질수록 더미는 매끄럽고 좌우가 같은 정규분포의 종 모양을 닮아 갑니다. 종 모양 분포에서는 값의 약 68%가 평균에서 표준편차 1개 거리 안에, 약 95%가 2개 거리 안에 들어갑니다. 줄이 10개인 판에서도 4~6번 칸(5번 칸에서 1.58 안쪽)에 공의 약 65.6%가, 2~8번 칸에 약 97.9%가 모이니 벌써 꽤 가깝습니다. 주사위 세 개의 합이 두 개의 합보다 둥근 것과 같은 까닭입니다. 작고 서로 독립인 밀림이 많이 더해지면 그 합은 종 모양에 다가갑니다. 못 한 줄에서의 튐은 왼쪽 아니면 오른쪽 두 가지뿐이지만, 열 줄을 더하면 종 모양에 가까워집니다. 실험실에서 오른쪽으로 갈 확률을 0.7로 바꾸면 더미가 7번 칸 쪽으로 옮겨 가며 한쪽으로 기웁니다. 이항분포는 p = 0.5일 때만 좌우 대칭입니다.

이 모형은 공이 못에 부딪혀 튈 때마다 왼쪽과 오른쪽이 정확히 반반이고, 각각의 튐이 서로 독립이라고 가정합니다. 실제 나무로 만든 판은 못의 간격이 완전히 고르지 않고 공끼리 부딪히기도 해서, 실제로 쌓인 더미는 모형보다 조금 덜 가지런합니다.

P(k) = C(n, k) × p의 k제곱 × (1 − p)의 n − k제곱. 평균 n p. 표준편차 n p (1 − p)의 제곱근.

10줄. 5번 칸으로 가는 길은 몇 가지인가요?
10줄. 길은 모두 몇 가지인가요?
10줄, 공정하게 튐. 0번 칸의 확률은?
10줄, p = 0.5. 평균 칸은?
10줄, p = 0.5. 표준편차를 소수 둘째 자리까지(칸 단위)?
4줄, 공정하게 튐. 가운데인 2번 칸의 확률은?
파스칼의 삼각형 6번째 줄: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. C(6, 2)는?
10줄, p = 0.7. 평균 칸은?
10줄 판에 공 1,000개를 떨어뜨리면 5번 칸에 약 몇 개가 들어갈까요? 정수로 반올림하세요.
공이 들어가는 칸이 오른쪽으로 튄 횟수에만 달린 이유는?
- 가장자리 못이 더 세게 밀어서
- 오른쪽 한 번에 반 칸 오른쪽, 왼쪽 한 번에 반 칸 왼쪽으로, 순서와 상관없이 움직여서
- 공이 길을 기억해서
- 칸의 폭이 달라서

자주 하는 실수

「줄이 10개인 판은 칸이 11개이니 칸마다 공의 1/11씩 들어간다.」 칸마다 이르는 길의 수가 다릅니다. 5번 칸은 1,024가지 중 252가지(약 0.246)이고, 0번 칸과 10번 칸은 한 가지씩(약 0.001)입니다. 1/11, 약 0.091은 가운데에는 너무 작고 양 끝에는 훨씬 큽니다. 실험실에서 공 1,000개를 떨어뜨려 보면 양 끝 칸에는 공이 거의 없습니다.
「윷을 던지면 도, 개, 걸, 윷, 모 다섯 가지가 나오니 각각 1/5이다.」 윷가락 하나가 뒤집어질 확률을 1/2로 친다면(지어낸 가정) 네 가락은 줄이 4개인 판과 같습니다. 모(넷 다 엎어짐)와 윷(넷 다 뒤집어짐)은 모양이 한 가지뿐이라 각각 1/16이고, 도는 네 가지 모양이라 4/16입니다. 가능성이 같은 모양 16가지 대신 이름 5가지를 센 실수입니다.
「오른쪽으로 갈 확률이 0.7이어도 가운데 칸에 공이 가장 많이 모인다.」 더미의 가운데는 n × p를 따라갑니다. 줄이 10개이고 p = 0.7이면 가장 많이 모이는 칸은 7번(확률 약 0.267)이고, 5번 칸은 약 0.103으로 줄어듭니다. 실험실에서 오른쪽으로 갈 확률을 0.7로 바꾸고 공을 떨어뜨려 보면 바로 확인할 수 있습니다.

선생님 메모식보다 판을 먼저 돌리세요. 더미가 쌓인 뒤에 「왜 가운데일까?」를 묻고, 파스칼의 삼각형 위에서 길 몇 개를 손가락으로 따라가게 하면 됩니다. 2022 개정 교육과정에서 이 단원의 내용은 여러 과목에 나뉘어 있습니다. 조합은 공통수학1 [10공수1-03-03], 이항정리와 파스칼의 삼각형은 확률과 통계 [12확통01-03], 이항분포는 [12확통03-03], 정규분포와 이항분포의 관계는 [12확통03-04]입니다. 확률과 통계의 고려 사항에는 공학 도구로 이항분포 B(n, p)에서 p를 고정하고 n을 바꾸며 이항분포 그래프와 정규분포 그래프의 관계를 보게 할 수 있다고 적혀 있는데, 실험실의 「못 줄 수」로 그대로 해 볼 수 있습니다. 중학교 [9수04-05]는 순열과 조합을 다루지 않으니, 중학생에게는 252를 공식 대신 삼각형의 덧셈으로 보여 주세요.

핵심 정리

칸 번호 = 오른쪽으로 튄 횟수. k번 칸으로 가는 길: C(n, k), 파스칼의 삼각형.
P(k번 칸) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: 이항분포.
평균 n p, 표준편차 √(n p (1 − p)).
작고 독립적인 효과가 많이 더해지면 종 모양.

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17