ゴルトンボードと釣鐘型の曲線

くぎが10段のゴルトンボードで、中央の箱に入る確率は252/1024で、約0.246です。

くぎが10段のボードで、玉はどこに集まるでしょうか？

まず下のボードを使いましょう。二百個の玉がすでに10段のくぎを通過しています。先を読む前に「100個落とす」を押して、新しい玉の行き先を見ます。次に「1,000個を一度に追加」を押します。どの箱が最多ですか。全体のおよそ何割ですか。両方を書き留めましょう。この後で理由を説明します。

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くぎが10段のゴルトンボードで、200個の玉がすでに落ちています。さらに100個落として動きを見るか、1,000個をまとめて追加します。赤線は予想される積み上がりで、1,000個なら1,000 × C(10, k)/1024です。段数や右へ進む確率を変えると、箱は空になります。

くぎの並ぶボードの上から玉を落とします。くぎに当たるたびに左右どちらかへ跳ね、最後の段の後で下の箱に入ります。一個ならどこへでも行きますが、何百個も落とすと毎回同じ形になります。中央が高く、両側ほど低い山です。ゴルトンボード、ビーンマシン、クインカンクスと呼ばれる装置で、前の授業の規則を目に見える形にします。

背景遺伝を研究したヴィクトリア朝の科学者フランシス・ゴルトンは、多数の小さな独立した影響が足し合わさると予測できる形になることを示すため、このボードを作りました。1889年の著書『自然遺伝』の「見かけの混沌の中の秩序」という節で紹介し、誤差の頻度の法則は「激しい混乱の中でも、静かに自らを隠して支配する」と書いています。今では二項分布と、それが正規曲線に近づく様子を示す定番の教材です。ゴルトン自身の統計利用、特に優生学は現在では否定されており、このボードは示す数学によって知られています。

箱5への経路は252通り、箱0へは一通りです

左から0、1、…と箱に番号を付けます。n段のうちk回右へ跳ねた玉は、左右の順序によらず箱kに入ります。左右が同じ確率なら、n回の跳ね方の各経路の確率は(1/2)ⁿです。したがって箱kの確率は、（右がk回の経路数）÷ 2ⁿです。10段では2¹⁰ = 1,024通りあります。箱0へは毎回左の一通りだけですが、箱5へは252通りあります。P(箱5) = 252/1024で約0.246、P(箱0) = 1/1024で0.001未満です。実験室で見たとおり、約四分の一が箱5に入り、箱0には約千個に一個入ります。

経路数はパスカルの三角形の数です。各数はすぐ上の二つの和で、各くぎに上の二つのくぎから到達できるのと同じです。n回中k回右へ進む経路数をC(n, k)と書き、「n個からk個を選ぶ組合せの数」と読みます。右へ進む確率が1/2でなくpなら、右がk回の各経路の確率はpᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏで、P(箱k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏです。これが二項分布で、OpenStaxの第4章で扱います。平均はn × p、標準偏差は√(n p (1 − p))です。10段でp = 0.5なら平均は箱5、標準偏差は√2.5で、約1.58箱分です。

n = 0から6までのパスカルの三角形です。各行の和は2ⁿです（右）。くぎが6段なら、64通り中20通りが中央の箱に入ります。

十段でも65.6%の玉が標準偏差一つ分の範囲に入ります

段数が増えると、山は正規分布の滑らかで左右対称な釣鐘型に近づきます。釣鐘型では、平均から標準偏差一つ分以内に約68%、二つ分以内に約95%の値が入ります。10段のボードでは箱4から6（箱5から1.58以内）に約65.6%、箱2から8に約97.9%が入り、すでに近い値です。サイコロ三個の和が二個より丸い理由と同じで、小さな独立した影響をたくさん足すと釣鐘型に近づきます。右へ進む確率を0.7にすると、山は箱7へ移って傾きます。二項分布が対称なのはp = 0.5のときだけです。

このモデルでは各跳ね返りを独立で、左右ちょうど50:50とします。実際の木製ボードではくぎが完全にはそろわず、玉も衝突するため、積み上がり方は少し乱れます。

P(k) = C(n, k) × pのk乗 × (1 − p)のn − k乗です。平均はn p、標準偏差はn p (1 − p)の平方根です。

10段のとき、箱5への経路は何通りですか？
10段のとき、経路は全部で何通りですか？
10段で左右が同じ確率なら、P(箱0)はいくつですか？
10段でp = 0.5のとき、箱番号の平均はいくつですか？
10段でp = 0.5のとき、標準偏差を箱の個数単位で小数第2位まで求めましょう。
4段で左右が同じ確率なら、P(中央の箱、箱2)はいくつですか？
パスカルの三角形の行6は1, 6, 15, 20, 15, 6, 1です。C(6, 2)はいくつですか？
10段でp = 0.7のとき、箱番号の平均はいくつですか？
10段のボードに1,000個落とすと、箱5にはおよそ何個入るはずですか。整数に丸めましょう。
玉が入る箱は、なぜ右へ跳ねた回数だけで決まるのですか？
- 端のくぎが強く押すからです
- 順序によらず、右ならくぎの間隔の半分だけ右へ、左なら半分だけ左へ進むからです
- 玉が経路を覚えているからです
- 箱の幅が違うからです

よくある間違い

「10段のボードには11個の箱があるので、各箱に1/11ずつ入ります」 箱によって到達する経路数が違います。箱5には1,024通り中252通り（約0.246）が入り、箱0と箱10には各一通り（約0.001）です。1/11は約0.091で、中央には小さすぎ、端には大きすぎます。
「両面のある棒四本を投げ、表向きの本数を0から4の得点にするので、五種類の得点の確率はそれぞれ1/5です」 各棒が50:50なら、四本は4段のボードと同じです。得点0と4はそれぞれ特定の一通りで1/16、得点1は四通りで4/16です。同様に確からしい16通りの並びでなく、5種類の得点を数えたことが誤りです。
「p = 0.7でも、中央の箱にいちばん多く集まります」 山はn × pに従います。10段でp = 0.7なら、最も入りやすいのは箱7で確率は約0.267、箱5は約0.103に下がります。

先生からひとこと公式を見せる前にボードを動かしましょう。山ができたら、なぜ中央が多いか問い、パスカルの三角形を指でたどって経路を確かめます。韓国の教育課程では、組合せは高校共通科目、パスカルの三角形は二項定理、二項分布と正規分布は「確率と統計」と、内容が複数の科目に分かれています。同科目ではデジタルツールでB(n, p)のpを固定し、nを変えて二項分布と正規曲線を比べることを勧めています。実験室の「くぎの段数」がその操作です。中学校では組合せを扱わないので、年少の学習者には公式でなく三角形の足し算で252を示しましょう。

ポイント

箱番号は右へ跳ねた回数です。箱kへの経路数はパスカルの三角形のC(n, k)です。
P(箱k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏが二項分布です。
平均はn p、標準偏差は√(n p (1 − p))です。
多数の小さな独立した影響を足すと、釣鐘型になります。

このコースの出典 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
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Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

確認日: 2026-10-17