Het Galtonbord en de klokkromme

Op een Galtonbord met 10 rijen pinnetjes heeft een balletje kans 252/1024, ongeveer 0.246, om in de middelste bak te vallen.

Waar vallen de balletjes op een bord met 10 rijen pinnetjes?

Begin met het bord hieronder. Er zijn al tweehonderd balletjes door 10 rijen pinnetjes gevallen. Druk eerst op ‘100 laten vallen’ en bekijk waar de nieuwe balletjes terechtkomen. Druk daarna op ‘1000 tegelijk toevoegen’. Welke bak wint? Welk aandeel van alle balletjes zit daar ongeveer in? Schrijf beide antwoorden op. Verderop in de les lees je de verklaring.

Laat een balletje bovenaan in een bord met pinnetjes vallen. Bij elk pinnetje stuitert het naar links of rechts. Na de laatste rij valt het in een van de bakken onderaan. Eén balletje kan overal terechtkomen. Bij honderden balletjes ontstaat steeds dezelfde vorm: een hoop in het midden die aan beide kanten afloopt. Het toestel heet een Galtonbord, een bonenmachine of een quincunx. Daarmee maak je de regels uit de vorige lessen zichtbaar.

Naar bak 5 leiden 252 paden, naar bak 0 maar één

Nummer de bakken vanaf 0 aan de linkerkant. Een balletje dat bij n rijen k keer naar rechts stuitert, belandt in bak k, ongeacht de volgorde van links en rechts. Als links en rechts even waarschijnlijk zijn, heeft elk pad van n botsingen kans (1/2)ⁿ. De kans op bak k is dus (aantal paden met k keer rechts) ÷ 2ⁿ. Bij 10 rijen zijn er 2¹⁰ = 1024 paden. Slechts één pad leidt naar bak 0 (steeds links), maar er zijn 252 verschillende paden naar bak 5. Dus P(bin 5) = 252/1024, ongeveer 0.246, en P(bin 0) = 1/1024, minder dan 0.001. Dat zijn de aandelen die je in de simulatie zag: bijna een kwart van de balletjes in bak 5 en ongeveer één op duizend in bak 0.

De padaantallen zijn de getallen in de driehoek van Pascal: elk getal is de som van de twee erboven, net zoals je elk pinnetje kunt bereiken vanaf de twee pinnetjes erboven. Het aantal manieren om bij n botsingen k keer naar rechts te gaan schrijf je als C(n, k), gelezen als ‘n boven k’. Is de kans om naar rechts te gaan p in plaats van 1/2, dan heeft elk pad met k keer rechts kans pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Dus P(bin k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Dit is de binomiale verdeling, die OpenStax in hoofdstuk 4 behandelt. Het gemiddelde is n × p en de standaardafwijking √(n p (1 − p)). Bij 10 rijen en p = 0.5 is het gemiddelde bak 5 en de standaardafwijking √2.5, ongeveer 1.58 bakken.

Bij tien rijen valt al 65.6% van de balletjes binnen één standaardafwijking

Bij meer rijen gaat de hoop steeds meer lijken op de vloeiende, symmetrische klok van de normale verdeling. Bij een klokvorm ligt ongeveer 68% van de waarden binnen één standaardafwijking van het gemiddelde en ongeveer 95% binnen twee. Op een bord met 10 rijen bevatten bakken 4 tot en met 6 (binnen 1.58 van bak 5) ongeveer 65.6% van de balletjes, en bakken 2 tot en met 8 ongeveer 97.9%. Dat komt al dichtbij. De reden is dezelfde als bij de rondere vorm van drie dobbelstenen tegenover twee: veel kleine onafhankelijke zetjes vormen opgeteld steeds meer een klokvorm. Zet de kans om naar rechts te gaan op 0.7 en de hoop verschuift naar bak 7 en wordt scheef. De binomiale verdeling is alleen symmetrisch bij p = 0.5.