El tablero de Galton y la curva de campana

En un tablero de Galton con 10 filas de clavijas, una bola llega al compartimento central con probabilidad 252/1024, aproximadamente 0.246.

¿Dónde caen las bolas en un tablero de 10 filas de clavijas?

Empieza por el tablero de abajo. Ya han pasado doscientas bolas por 10 filas. Antes de seguir leyendo, pulsa «Soltar 100» y observa adónde van las nuevas. Después pulsa «Añadir 1000 de una vez». ¿Qué compartimento gana? ¿Qué proporción aproximada de bolas contiene? Anota ambas respuestas; la lección las explica.

Deja caer una bola por la parte superior de un tablero con clavijas. En cada una rebota a izquierda o derecha; tras la última fila llega a un compartimento inferior. Una bola puede acabar en cualquier sitio. Cientos forman siempre una figura parecida: un montón central que disminuye hacia los lados. El dispositivo se llama tablero de Galton, máquina de judías o quincunce; convierte en imagen las reglas anteriores.

Al compartimento 5 llegan 252 caminos; al 0, uno

Numera los compartimentos desde 0 a la izquierda. Una bola que rebota a la derecha k veces en n filas llega al compartimento k, sea cual sea el orden de los rebotes. Con igual probabilidad de izquierda y derecha, cada camino de n rebotes tiene probabilidad (1/2)ⁿ; por tanto, la probabilidad del compartimento k es (caminos con k rebotes a la derecha) ÷ 2ⁿ. Con 10 filas hay 2¹⁰ = 1024 caminos. Solo uno llega al compartimento 0 (siempre a la izquierda), pero 252 llegan al 5. Así, P(compartimento 5) = 252/1024, aproximadamente 0.246, y P(compartimento 0) = 1/1024, menos de 0.001. Es lo que viste: cerca de un cuarto de las bolas en el 5 y una de cada mil en el 0.

Las cantidades de caminos forman el triángulo de Pascal: cada número suma los dos superiores, igual que cada clavija puede alcanzarse desde las dos de arriba. La cantidad de caminos con k rebotes a la derecha en n filas se escribe C(n, k), «combinaciones de n elementos tomados de k en k». Si la probabilidad de derecha es p en lugar de 1/2, cada camino con k derechas tiene probabilidad pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ y P(compartimento k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Es la distribución binomial, tratada en el capítulo 4 de OpenStax. Su media es n × p y su desviación estándar, √(n p (1 − p)). Con 10 filas y p = 0.5, la media está en el compartimento 5 y la desviación es √2.5, unos 1.58 compartimentos.

Con diez filas, el 65.6% de las bolas ya queda a una desviación estándar de la media o menos

Al aumentar las filas, el montón se parece cada vez más a la campana suave y simétrica de la distribución normal. En una campana, cerca del 68% de los valores queda a una desviación estándar de la media o menos, y un 95% a dos o menos. En un tablero de 10 filas, los compartimentos 4 a 6 (a menos de 1.58 del 5) reúnen aproximadamente el 65.6% de las bolas; los compartimentos 2 a 8, el 97.9%. Ya se aproxima. La razón es la misma que redondea la suma de tres dados frente a dos: muchos pequeños impulsos independientes sumados tienden a formar una campana. Ajusta la probabilidad de derecha a 0.7: el montón se desplaza al compartimento 7 y se inclina. La binomial solo es simétrica cuando p = 0.5.