Papan Galton dan kurva lonceng

Pada papan Galton dengan 10 baris pasak, peluang bola masuk kotak tengah adalah 252/1024, sekitar 0.246.

Di mana bola jatuh pada papan dengan 10 baris pasak?

Mulailah dengan papan di bawah. Dua ratus bola sudah melewati 10 baris pasak. Sebelum membaca lebih jauh, tekan Jatuhkan 100 dan amati bola-bola baru. Lalu tekan Tambah 1000 sekaligus. Kotak mana yang menang? Kira-kira berapa proporsi seluruh bola di dalamnya? Catat keduanya; bagian selanjutnya menjelaskannya.

Jatuhkan bola dari atas papan yang dipenuhi pasak. Pada tiap pasak bola memantul ke kiri atau kanan, lalu setelah baris terakhir masuk ke salah satu kotak di bawah. Satu bola bisa jatuh di mana saja. Ratusan bola selalu membentuk pola serupa: tumpukan tinggi di tengah yang menurun di kedua sisi. Alat ini disebut papan Galton, mesin kacang, atau quincunx, dan mengubah aturan pelajaran sebelumnya menjadi gambar.

Kotak 5 dapat dicapai melalui 252 lintasan, kotak 0 hanya satu

Beri nomor kotak mulai dari 0 di kiri. Bola yang memantul ke kanan k kali dari n baris masuk ke kotak k, apa pun urutan pantulan kiri dan kanannya. Setiap lintasan n pantulan memiliki peluang (1/2)ⁿ jika kiri dan kanan sama mungkin, sehingga peluang kotak k adalah (banyak lintasan dengan k pantulan kanan) ÷ 2ⁿ. Dengan 10 baris ada 2¹⁰ = 1024 lintasan. Hanya satu lintasan mencapai kotak 0 (selalu ke kiri), tetapi ada 252 lintasan menuju kotak 5. Jadi P(kotak 5) = 252/1024, sekitar 0.246, dan P(kotak 0) = 1/1024, kurang dari 0.001. Itulah proporsi yang terlihat di lab: hampir seperempat bola di kotak 5, dan sekitar satu per seribu di kotak 0.

Banyak lintasan adalah bilangan dalam segitiga Pascal, yang setiap bilangannya merupakan jumlah dua bilangan di atasnya, seperti tiap pasak dapat dicapai dari dua pasak di atasnya. Banyak cara memilih k pantulan kanan dari n ditulis C(n, k), "n pilih k". Jika peluang ke kanan adalah p, bukan 1/2, setiap lintasan dengan k pantulan kanan memiliki peluang pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, dan P(kotak k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Inilah distribusi binomial, yang dibahas OpenStax di bab 4. Rata-ratanya n × p dan simpangan bakunya √(n p (1 − p)). Untuk 10 baris dan p = 0.5, rata-ratanya kotak 5 dan simpangan bakunya √2.5, sekitar 1.58 kotak.

Dengan sepuluh baris saja, 65.6% bola berada dalam satu simpangan baku

Saat baris bertambah, tumpukan makin menyerupai lonceng halus dan simetris dari distribusi normal. Untuk bentuk lonceng, sekitar 68% nilai berada dalam satu simpangan baku dari rata-rata dan sekitar 95% dalam dua simpangan baku. Pada papan 10 baris, kotak 4 sampai 6 (dalam jarak 1.58 dari kotak 5) memuat sekitar 65.6% bola, dan kotak 2 sampai 8 sekitar 97.9%, sudah mendekati. Penyebabnya sama dengan jumlah tiga dadu yang lebih membulat daripada dua dadu: banyak dorongan kecil saling bebas yang dijumlahkan cenderung membentuk lonceng. Atur peluang ke kanan menjadi 0.7 dan tumpukan bergeser ke kotak 7 serta menjadi miring: binomial hanya simetris jika p = 0.5.