edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Вероятность и статистика›Вероятность

Доска Гальтона и колоколообразная кривая

На доске Гальтона с 10 рядами штырьков шарик попадает в среднюю ячейку с вероятностью 252/1024, около 0.246.

Куда попадают шарики на доске с 10 рядами штырьков?

Начни с доски ниже. Двести шариков уже прошли через 10 рядов штырьков. Прежде чем читать дальше, нажми «Запустить 100» и посмотри, куда попадают новые шарики. Затем нажми «Добавить 1000 сразу». Какая ячейка лидирует? Примерно какая доля всех шариков в ней? Запиши оба ответа; дальше мы их объясним.

Загружается 3D-модель

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Доска Гальтона с 10 рядами; уже запущено 200 шариков. Запусти ещё 100 и проследи за ними или добавь 1000 сразу. Красная линия показывает ожидаемые столбики: 1000 × C(10, k)/1024 для 1000 шариков. При изменении числа рядов или вероятности поворота вправо доска очищается.

Пусти шарик сверху на доску со штырьками. У каждого штырька он отскакивает влево или вправо, а после последнего ряда падает в одну из ячеек внизу. Один шарик может попасть куда угодно. Сотни шариков каждый раз создают одну форму: высокий холмик в середине, убывающий по сторонам. Устройство называют доской Гальтона, бобовой машиной или квинкунксом. Оно превращает правила предыдущих уроков в наглядную картину.

КонтекстФрэнсис Гальтон, викторианский учёный, изучавший наследственность, создал эту доску, чтобы показать, как множество малых независимых воздействий образуют предсказуемую закономерность. Он описал квинкункс в книге «Естественная наследственность» 1889 года, в разделе «Порядок в кажущемся хаосе». По его словам, закон распределения ошибок «безмятежно и незаметно царствует среди самого дикого беспорядка». Сегодня доска служит обычной учебной демонстрацией биномиального распределения и его приближения к нормальной кривой. Использование статистики самим Гальтоном, особенно в евгенике, теперь отвергается, а доску помнят благодаря математике, которую она показывает.

В ячейку 5 ведут 252 пути, в ячейку 0 только один

Пронумеруй ячейки слева начиная с 0. Шарик, отскочивший вправо k раз за n рядов, попадает в ячейку k независимо от порядка поворотов. Если левая и правая стороны равновероятны, вероятность каждого пути из n отскоков равна (1/2)ⁿ, поэтому вероятность ячейки k равна (число путей с k поворотами вправо) ÷ 2ⁿ. Для 10 рядов есть 2¹⁰ = 1,024 пути. В ячейку 0 ведёт лишь один путь (всё время влево), а в ячейку 5 ведут 252 разных пути. Поэтому P(ячейка 5) = 252/1024, около 0.246, а P(ячейка 0) = 1/1024, меньше 0.001. Именно это ты видел в лаборатории: около четверти шариков в ячейке 5 и примерно один из тысячи в ячейке 0.

Число путей задают числа треугольника Паскаля: каждое равно сумме двух над ним, как и к каждому штырьку можно прийти от двух верхних. Число путей с k поворотами вправо за n рядов записывают C(n, k), «число сочетаний из n по k». Если вероятность вправо равна p вместо 1/2, вероятность каждого пути с k правыми поворотами равна pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, а P(ячейка k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Это биномиальное распределение, которому посвящена глава 4 OpenStax. Его среднее равно n × p, а стандартное отклонение √(n p (1 − p)). Для 10 рядов и p = 0.5 среднее соответствует ячейке 5, а стандартное отклонение равно √2.5, около 1.58 ячейки.

Треугольник Паскаля для строк от n = 0 до 6. Сумма каждой строки равна 2ⁿ (справа). При 6 рядах штырьков 20 из 64 путей заканчиваются в средней ячейке.

Уже при десяти рядах 65.6% шариков лежат в пределах одного стандартного отклонения

С ростом числа рядов столбики всё больше напоминают гладкий симметричный колокол нормального распределения. Для такой формы около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, а около 95% в пределах двух. На доске с 10 рядами в ячейках от 4 до 6 (не дальше 1.58 от ячейки 5) находится около 65.6% шариков, а в ячейках от 2 до 8 около 97.9%. Это уже близко. Причина та же, по которой сумма трёх костей округлее суммы двух: множество малых независимых воздействий в сумме дают форму, близкую к колоколу. Задай вероятность поворота вправо 0.7: холмик сдвинется к ячейке 7 и станет асимметричным. Биномиальное распределение симметрично только при p = 0.5.

В модели каждый отскок независим, а шансы сторон точно 50:50. На настоящей деревянной доске штырьки не идеально ровные, шарики сталкиваются, поэтому реальные столбики менее аккуратны.

P(k) = C(n, k) × p в степени k × (1 − p) в степени n − k. Среднее n p. Стандартное отклонение равно квадратному корню из n p (1 − p).

  1. 10 рядов. Сколько путей ведут в ячейку 5?
  2. 10 рядов. Сколько всего путей?
  3. 10 рядов, равновероятные отскоки. Чему равно P(ячейка 0)?
  4. 10 рядов, p = 0.5. Каков средний номер ячейки?
  5. 10 рядов, p = 0.5. Стандартное отклонение в ячейках, до 2 знаков после точки?
  6. 4 ряда, равновероятные отскоки. Чему равно P(средняя ячейка, ячейка 2)?
  7. Треугольник Паскаля, строка 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Чему равно C(6, 2)?
  8. 10 рядов, p = 0.7. Каков средний номер ячейки?
  9. Примерно сколько из 1000 шариков попадут в ячейку 5 доски с 10 рядами? Округли до целого.
  10. Почему ячейка шарика зависит только от числа отскоков вправо?
    • У краёв штырьки толкают сильнее
    • Каждый отскок вправо сдвигает на полшага вправо, а влево на полшага влево, в любом порядке
    • Шарики помнят свой путь
    • У ячеек разная ширина
Частые ошибки
  • «На доске с 10 рядами 11 ячеек, поэтому каждая получает 1/11 шариков». В разные ячейки ведёт разное число путей. В ячейку 5 ведут 252 из 1,024 путей (около 0.246), а в ячейки 0 и 10 по одному (около 0.001). Доля 1/11, около 0.091, слишком мала для середины и слишком велика для краёв.
  • «Бросок четырёх двусторонних палочек оценивают числом палочек, упавших лицевой стороной вверх, от 0 до 4, поэтому вероятность каждого из пяти результатов равна 1/5». Если шансы сторон каждой палочки 50:50, четыре палочки ведут себя как доска с 4 рядами. Для результатов 0 и 4 нужен один определённый набор сторон, вероятность 1/16; результат 1 получается четырьмя наборами, 4/16. Ошибка в подсчёте 5 результатов вместо 16 равновероятных наборов.
  • «При p = 0.7 в средней ячейке всё равно больше всего шариков». Холмик следует за n × p. При 10 рядах и p = 0.7 наиболее вероятна ячейка 7, её вероятность около 0.267, а вероятность ячейки 5 падает примерно до 0.103.
Заметка для учителяЗапустите доску до показа формул. Когда холмик сформируется, спросите, почему середина выигрывает, затем проследите пальцем несколько путей по треугольнику Паскаля. В корейской программе части этого урока распределены по нескольким курсам: сочетания в общем курсе старшей школы, треугольник Паскаля вместе с биномом Ньютона, биномиальное и нормальное распределения в курсе «Вероятность и статистика». Последний предлагает с помощью цифрового инструмента фиксировать p в B(n, p), менять n и сравнивать биномиальный график с нормальной кривой. Именно это делает регулятор «Ряды штырьков». В средней школе сочетания не изучают, поэтому младшим ученикам покажите получение 252 сложением в треугольнике, а не формулой.
Главное
  • Номер ячейки = число отскоков вправо. Число путей в ячейку k: C(n, k), из треугольника Паскаля.
  • P(ячейка k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: биномиальное распределение.
  • Среднее n p, стандартное отклонение √(n p (1 − p)).
  • Множество малых независимых воздействий в сумме создают колоколообразную форму.
Источники курса (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Проверено: 2026-10-17