Две кости и сумма семь
Две кости имеют 36 равновероятных исходов, и 6 из них дают сумму 7, больше, чем для любой другой суммы.
Поставить на сумму 2, 7 или 12: что выберешь?
До чтения попробуй решить. Ты бросаешь две кости и складываешь очки; можно поставить на сумму 2, 7 или 12. Что выберешь? Во сколько раз чаще, по твоим ожиданиям, она будет выпадать по сравнению с каждой из остальных? Запиши догадку. Можно честно предположить, что все три равновероятны, ведь каждая лишь одно число от 2 до 12. Или что 7 выигрывает, но ненамного. Подсчёт всё решит, и разница окажется немаленькой.
В настольных играх с ходом по сумме двух костей кажется, будто 7 выпадает постоянно. Так и есть, и подсчёт объясняет почему. Покрась одну кость в красный, другую в синий. У красной кости 6 граней, у синей столько же, значит, у пары 6 × 6 = 36 исходов от (1, 1) до (6, 6). Все 36 равновероятны. Но суммы нет: для 2 подходит только (1, 1), а для 7 подходят (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) и (6, 1).
По диагоналям таблицы получаем число способов для каждой суммы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 для сумм от 2 до 12. В сумме 36, как и должно быть. Поэтому P(сумма = 7) = 6/36 = 1/6, примерно 0.167, а P(сумма = 2) и P(сумма = 12) равны лишь 1/36, примерно 0.028. Ответ на начальный вопрос: 7 выпадает в шесть раз чаще 2 и в шесть раз чаще 12. Распределение суммы похоже на палатку: одинаковыми шагами поднимается до 7 и затем так же опускается.
| Сумма | Число способов | Вероятность |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 |
| 3 | 2 | 2/36 |
| 4 | 3 | 3/36 |
| 5 | 4 | 4/36 |
| 6 | 5 | 5/36 |
| 7 | 6 | 6/36 |
| 8 | 5 | 5/36 |
| 9 | 4 | 4/36 |
| 10 | 3 | 3/36 |
| 11 | 2 | 2/36 |
| 12 | 1 | 1/36 |
Двадцать одна неупорядоченная пара не образует равновероятные исходы
Частая ошибка: сказать, что 7 получается из 1 и 6, 2 и 5 или 3 и 4, значит, для неё три способа, а для 2 один, среди 21 неупорядоченной пары. Но эти 21 пары неравновероятны. Пара «3 и 4» получается как красная 3 и синяя 4 или красная 4 и синяя 3, тогда как «2 и 2» лишь одним способом. Равновероятны только 36 упорядоченных исходов, их и нужно считать. Даже одинаковые с виду кости остаются двумя отдельными предметами.
Числа Галилея дают P(10) = 27/216 = 0.125 и P(9) = 25/216, примерно 0.116. Разница около одного броска на сотню, так что игрокам пришлось немало играть, чтобы её заметить. Для трёх костей распределение суммы уже не похоже на палатку. Оно округлее, с плоской вершиной при 10 и 11, и уже напоминает колоколообразную кривую доски Гальтона.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
| Исходы для двух костей | 6 × 6 = 36 упорядоченных пар |
| P(сумма = 7) | 6/36 = 1/6 |
| P(сумма = 2) | 1/36 |
| Три кости: число способов получить 10 и 9 | 27 и 25 из 216 (Галилей) |
- Две кости. Чему равно P(сумма = 7)?
- Две кости. Чему равно P(сумма = 2)?
- Две кости. Сколькими способами получается сумма 8?
- Две кости. Чему равно P(сумма не меньше 10)?
- Две кости. Чему равно P(дубль)?
- Сколько равновероятных исходов у трёх костей?
- Три кости. Сколькими способами получается сумма 10?
- Три кости. Чему равно P(сумма = 10) в десятичной записи?
- Почему нельзя считать 21 неупорядоченную пару равновероятными исходами?
- Кости никогда не бывают правильными
- Пара разных чисел может выпасть в двух порядках, дубль только в одном
- На самом деле пар 30
- Все суммы равновероятны
- Какова средняя сумма двух правильных костей при большом числе бросков?
- «Возможны 11 сумм от 2 до 12, значит, вероятность каждой равна 1/11, а 2 и 12 выпадают так же часто, как 7». 11 сумм не равновероятны, в отличие от 36 упорядоченных исходов. Сумме 7 соответствуют 6 исходов (6/36), а суммам 2 и 12 по одному (1/36). Поэтому 7 в шесть раз вероятнее каждой из них, а значение 1/11 (около 0.091) неверно для любой суммы.
- «Для 11 нужны 5 и 6, для 12 две 6, значит, 11 и 12 равновероятны». 11 получается как (5, 6) или (6, 5), то есть двумя способами, поэтому P(11) = 2/36. 12 получается только как (6, 6), поэтому P(12) = 1/36. Сумма 11 вдвое вероятнее.
- «Брось две кости 36 раз, и 7 выпадет 6 раз». 6 из 36 описывает долю в длительной серии, а не расписание. За 36 бросков 7 может выпасть три раза или девять. Только при большом числе бросков доля семёрок приближается к 1/6.
- Две кости: 36 равновероятных упорядоченных исходов.
- Число способов получить суммы от 2 до 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. P(7) = 1/6.
- Учитывай порядок исходов даже для одинаковых на вид костей.
- Три кости: 216 исходов; сумма 10 получается 27 способами, сумма 9 получается 25 (Галилей).
Источники курса (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
- 4.3 binomial distribution
- 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
- Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
- Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
- Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
- Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
- Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")
Проверено: 2026-10-17