O tabuleiro de Galton e a curva de sino

Num tabuleiro de Galton com 10 fileiras de pinos, uma bolinha cai no compartimento central com probabilidade 252/1024, aproximadamente 0.246.

Onde caem as bolinhas num tabuleiro com 10 fileiras de pinos?

Comece pelo tabuleiro abaixo. Duzentas bolinhas já passaram por 10 fileiras de pinos. Antes de ler mais, pressione Soltar 100 e observe para onde vão as novas bolinhas. Depois, pressione Adicionar 1000 de uma vez. Qual compartimento vence? Aproximadamente que fração de todas as bolinhas ele contém? Anote as duas respostas; o restante da lição as explica.

Solte uma bolinha no alto de um tabuleiro cheio de pinos. Em cada pino, ela desvia para a esquerda ou a direita e, após a última fileira, cai num dos compartimentos da base. Uma bolinha pode ir a qualquer lugar. Centenas delas formam sempre a mesma figura: uma pilha no meio que diminui para os lados. O dispositivo é chamado tabuleiro de Galton, máquina de feijões ou quincunce, e transforma as regras das lições anteriores numa imagem.

O compartimento 5 pode ser alcançado por 252 caminhos; o 0, por um

Numere os compartimentos a partir de 0, à esquerda. Uma bolinha que desvia k vezes para a direita em n fileiras cai no compartimento k, não importa a ordem dos desvios. Cada caminho de n desvios tem probabilidade (1/2)ⁿ quando esquerda e direita são equiprováveis. Assim, a chance do compartimento k é (número de caminhos com k desvios à direita) ÷ 2ⁿ. Com 10 fileiras, há 2¹⁰ = 1.024 caminhos. Só um chega ao compartimento 0 (sempre à esquerda), mas 252 chegam ao 5. Portanto, P(compartimento 5) = 252/1024, aproximadamente 0.246, e P(compartimento 0) = 1/1024, menos de 0.001. Essa é a proporção vista no laboratório: quase um quarto das bolinhas no compartimento 5 e cerca de uma em mil no 0.

As contagens dos caminhos são os números do triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois acima dele, assim como cada pino pode ser alcançado pelos dois pinos acima. A contagem para k desvios à direita em n é escrita C(n, k), «combinação de n elementos tomados k a k». Quando a chance de ir para a direita é p em vez de 1/2, cada caminho com k desvios à direita tem probabilidade pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, e P(compartimento k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Essa é a distribuição binomial, abordada pelo OpenStax no capítulo 4. Sua média é n × p e seu desvio padrão é √(n p (1 − p)). Para 10 fileiras e p = 0.5, a média é o compartimento 5 e o desvio padrão é √2.5, aproximadamente 1.58 compartimentos.

Dez fileiras já concentram 65.6% das bolinhas a até um desvio padrão da média

À medida que aumenta o número de fileiras, a pilha se parece cada vez mais com o sino suave e simétrico da distribuição normal. Numa distribuição em sino, cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média e cerca de 95% a até dois. Num tabuleiro de 10 fileiras, os compartimentos de 4 a 6 (a até 1.58 do compartimento 5) recebem cerca de 65.6% das bolinhas, e os de 2 a 8, cerca de 97.9%, valores já próximos. A razão é a mesma que torna a soma de três dados mais arredondada que a de dois: muitos pequenos empurrões independentes, somados, tendem ao sino. Ajuste a probabilidade de ir à direita para 0.7 e a pilha se desloca ao compartimento 7, ficando assimétrica: a binomial só é simétrica quando p = 0.5.