Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid

In een OpenStax-steekproef van 100 mensen zijn er 13 linkshandig. Onder de 48 vrouwen zijn dat er maar 4, ongeveer 0.083.

De meeste regendagen zijn bewolkt. Regent het ook op de meeste bewolkte dagen?

Neem een verzonnen maand met 30 dagen. Op 5 dagen regende het, en 4 van die 5 waren bewolkt. In totaal waren er twaalf bewolkte dagen. De meeste regendagen waren dus bewolkt: 4 van de 5. Je zou dat kunnen omkeren en zeggen dat het op de meeste bewolkte dagen regende. Maar dat klopt niet: op slechts 4 van de 12 bewolkte dagen viel regen, een derde. Bij beide vragen staan dezelfde 4 dagen boven de breukstreep. Maar je deelt door verschillende groepen. Bij voorwaardelijke kans draait het om de keuze van die groep.

Nieuwe informatie verandert kansen. Weet je dat een kaart een plaatje is, dan stijgt de kans op een koning van 4/52 naar 4/12. De kans op A gegeven dat B is gebeurd schrijf je als P(A | B), gelezen als ‘A gegeven B’. De voorwaarde verkleint de uitkomstenruimte: je telt niet meer onder alle uitkomsten, maar alleen onder de uitkomsten in B. Als formule: P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B), zolang P(B) niet nul is.

OpenStax geeft een dobbelsteenvoorbeeld. Neem A = het aantal ogen is 2 of 3 en B = het aantal ogen is even. Gegeven B zijn alleen 2, 4 en 6 mogelijk. Daarvan zit alleen 2 in A. Dus P(A | B) = 1/3. De formule bevestigt dat: P(A AND B) = 1/6, P(B) = 3/6 en (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Zonder voorwaarde zou P(A) ook 2/6 = 1/3 zijn. Dat is een opvallend toeval: hier verandert de kennis van B de kans op A niet.

Eén tabel, drie antwoorden over linkshandigheid

Voorwaardelijke kansen zie je het makkelijkst in een kruistabel. In tabel 3.1 van OpenStax staat een willekeurige steekproef van 100 mensen, ingedeeld naar geslacht toegewezen bij de geboorte en voorkeurshand. In totaal zijn 13 van de 100 linkshandig, dus P(L) = 0.13. Onder de 52 mannen zijn er 9 linkshandig: P(L | M) = 9/52, ongeveer 0.173. Onder de 48 vrouwen zijn dat er 4: P(L | F) = 4/48, ongeveer 0.083. Draai je de voorwaarde om, dan krijg je een ander getal: van de 13 linkshandigen zijn er 4 vrouw, dus P(F | L) = 4/13, ongeveer 0.308. P(A | B) en P(B | A) zijn zelden gelijk. Ze omwisselen is dezelfde fout als bij het weer aan het begin van deze les.

In deze steekproef zijn voorkeurshand en geslacht niet onafhankelijk

Gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als P(A | B) = P(A): de kennis dat B is gebeurd vertelt je niets nieuws over A. In de steekproef over voorkeurshand is P(L | M) = 0.173 niet gelijk aan P(L) = 0.13. Bij deze 100 mensen zijn voorkeurshand en geslacht dus niet onafhankelijk. Muntworpen zijn het klassieke voorbeeld van onafhankelijke gebeurtenissen. Wat de eerste worp ook geeft, bij de tweede is de kans op kop 1/2. Afhankelijkheid ontstaat als de eerste uitkomst verandert wat er overblijft. Trek twee kaarten zonder terugleggen: P(eerste is een aas) = 4/52. Gegeven die uitkomst blijven er maar 3 azen over onder 51 kaarten, dus P(tweede is een aas | eerste is een aas) = 3/51. De kans op twee azen is 4/52 × 3/51 = 1/221, ongeveer 0.0045.

Bij 100 eerlijke worpen is een reeks van zes of meer heel gewoon

Onafhankelijkheid verklaart ook waarom lange reeksen niet betekenen dat er iets mis is. Bij 100 worpen met een eerlijke munt is de langste reeks van dezelfde kant ongeveer 81% van de keren 6 of langer en ongeveer 31% van de keren 8 of langer. De gemiddelde langste reeks is ongeveer 7. Mensen die zelf een ‘willekeurige’ reeks moeten opschrijven, vermijden meestal reeksen langer dan drie of vier. Zo kunnen docenten verzonnen huiswerk over muntworpen herkennen.