Probabilité conditionnelle et indépendance
Dans un échantillon OpenStax de 100 personnes, 13 sont gauchères, mais parmi les 48 femmes, seules 4 le sont, soit environ 0.083.
La plupart des jours pluvieux sont nuageux. L'inverse est-il vrai ?
Voici un mois fictif de 30 jours. Il a plu pendant 5 jours, dont 4 étaient nuageux. Il y a eu 12 jours nuageux au total. La plupart des jours pluvieux étaient donc nuageux : 4 sur 5. On est tenté d'inverser et de dire que la plupart des jours nuageux étaient pluvieux. C'est faux : seuls 4 des 12 jours nuageux ont été pluvieux, soit un tiers. Les deux questions placent les mêmes 4 jours au numérateur, mais les divisent par des groupes différents. Choisir ce groupe, c'est tout l'enjeu de la probabilité conditionnelle.
Une information nouvelle change les probabilités. Si tu sais qu'une carte est une figure, la probabilité que ce soit un roi passe de 4/52 à 4/12. La probabilité de A sachant que B s'est produit s'écrit P(A | B) et se lit « A sachant B ». La condition réduit l'univers : on compte uniquement parmi les issues de B, plus parmi toutes les issues. La formule est P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B), à condition que P(B) ne soit pas nulle.
OpenStax donne un exemple avec un dé. Soit A = la face vaut 2 ou 3 et B = la face est paire. Sachant B, seules les faces 2, 4 et 6 sont possibles, et seule 2 appartient à A. Donc P(A | B) = 1/3. La formule confirme : P(A AND B) = 1/6, P(B) = 3/6 et (1/6) ÷ (3/6) = 1/3. Sans condition, P(A) vaudrait aussi 2/6 = 1/3. C'est une coïncidence à remarquer : ici, connaître B n'a pas changé la probabilité de A.
Un tableau, trois réponses sur les gauchers
Un tableau à double entrée rend les probabilités conditionnelles faciles à voir. Le tableau 3.1 d'OpenStax classe un échantillon aléatoire de 100 personnes selon le sexe assigné à la naissance et la main dominante. Au total, 13 personnes sur 100 sont gauchères : P(L) = 0.13. Parmi les 52 hommes, 9 sont gauchers : P(L | M) = 9/52, soit environ 0.173. Parmi les 48 femmes, 4 sont gauchères : P(L | F) = 4/48, soit environ 0.083. Inverser la condition donne un autre nombre : parmi les 13 personnes gauchères, 4 sont des femmes, donc P(F | L) = 4/13, soit environ 0.308. P(A | B) et P(B | A) sont rarement égales ; les échanger reproduit l'erreur sur la météo du début de la leçon.
| Droitier | Gaucher | Total | |
|---|---|---|---|
| Hommes | 43 | 9 | 52 |
| Femmes | 44 | 4 | 48 |
| Total | 87 | 13 | 100 |
Dans cet échantillon, main dominante et sexe ne sont pas indépendants
Les événements A et B sont indépendants lorsque P(A | B) = P(A) : apprendre que B s'est produit n'apporte rien sur A. Dans l'échantillon, P(L | M) = 0.173 diffère de P(L) = 0.13 : chez ces 100 personnes, main dominante et sexe ne sont donc pas indépendants. Les lancers de pièce sont l'exemple classique d'événements indépendants. Quel que soit le premier résultat, le second donne pile avec une probabilité de 1/2. La dépendance apparaît lorsque le premier résultat change ce qui reste. Tire deux cartes sans remise : P(première carte as) = 4/52. Sachant cela, il reste seulement 3 as parmi 51 cartes, donc P(deuxième carte as | première carte as) = 3/51. La probabilité de deux as est 4/52 × 3/51 = 1/221, soit environ 0.0045.
Sur 100 lancers équilibrés, une série d'au moins six est habituelle
L'indépendance explique aussi pourquoi les longues séries ne signalent pas une anomalie. Sur 100 lancers d'une pièce équilibrée, la plus longue série d'une même face atteint 6 ou plus environ 81% du temps et 8 ou plus environ 31% du temps ; sa longueur moyenne est proche de 7. Les personnes qui inventent une suite « aléatoire » évitent généralement les séries dépassant trois ou quatre : c'est ainsi que des enseignants repèrent les devoirs de lancers de pièce inventés.
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| P(A | B) | P(A AND B) ÷ P(B) : compter A uniquement parmi les issues de B |
| Indépendant | P(A | B) = P(A) |
| Sans remise | Les tirages suivants dépendent des précédents |
| P(A | B) et P(B | A) | Généralement différentes ; ne pas les échanger |
- Tableau 3.1. Quelle est P(L), la probabilité qu'une personne soit gauchère ?
- Tableau 3.1. Quelle est P(L | M) ?
- Tableau 3.1. Quelle est P(L | F) ?
- Tableau 3.1. Quelle est P(F | L) ?
- Tableau 3.1. Quelle est P(R | M), à 4 décimales ?
- Dans le tableau 3.1, « gaucher » et « homme » sont-ils indépendants ?
- Oui, car les deux concernent des personnes
- Non, car P(L | M) ≈ 0.173 diffère de P(L) = 0.13
- Oui, car le total du tableau vaut 100
- On ne peut pas le vérifier
- Un dé. A = 2 ou 3, B = pair. Quelle est P(A | B) ?
- Deux cartes sans remise. Quelle est P(deuxième carte as | première carte as) ?
- Quelle est P(deux as) en tirant deux cartes sans remise ?
- Deux dés. Sachant que le premier dé donne 3, quelle est P(somme = 8) ?
- « Tous les joueurs de l'équipe de football portent des baskets à l'école ; un élève en baskets fait donc presque sûrement partie de l'équipe. » Cela échange P(baskets | équipe) et P(équipe | baskets). Dans une classe fictive, les 6 joueurs de l'équipe portent des baskets, donc P(baskets | équipe) = 1. Mais si 24 élèves portent des baskets, P(équipe | baskets) = 6/24 = 1/4.
- « Dans le mois fictif, P(pluie | nuageux) = 4/30. » 4/30 est P(pluie ET nuageux). La condition demande de ne compter que les 12 jours nuageux : P(pluie | nuageux) = 4/12 = 1/3. Divise par l'effectif du groupe de la condition, pas par le total.
- « Cinq papiers, dont deux gagnants. Deux personnes en tirent chacune un sans remise, donc P(les deux gagnent) = 2/5 × 2/5 = 4/25. » Après le premier papier gagnant, il reste 1 gagnant parmi 4 papiers. P(les deux gagnent) = 2/5 × 1/4 = 1/10. Le second tirage dépend du premier : le second facteur doit donc être une probabilité conditionnelle.
- « P(A | B) est élevée, donc B cause A. » Une probabilité conditionnelle ne décrit que des effectifs. Dans le tableau 3.1, P(L | M) dépasse P(L | F), mais le tableau n'en explique pas la raison. Le programme coréen demande aussi de ne pas interpréter une probabilité conditionnelle comme un ordre temporel ou une cause.
- P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B) : la condition réduit l'univers.
- P(A | B) et P(B | A) sont des questions différentes.
- Indépendance : P(A | B) = P(A). Oui pour les lancers de pièce ; non pour les cartes sans remise.
- Sur 100 lancers équilibrés, une plus longue série autour de 7 est normale.
Sources de ce cours (9)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
- Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
- 4.3 binomial distribution
- 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
- Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
- Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
- Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
- Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
- Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")
Consulté le: 2026-10-17