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NON, OU et ET

La probabilité d'obtenir au moins un six en quatre lancers d'un dé est 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, soit environ 0.518.

Deux paris sur les dés qui semblaient équivalents en 1654

ContextePendant l'été 1654, Blaise Pascal a écrit à Pierre de Fermat au sujet de questions posées par Antoine Gombaud, le chevalier de Méré. L'une concernait deux paris. Miser sur au moins un six en quatre lancers d'un dé était avantageux ; Pascal donnait un avantage « de 671 à 625 ». Miser sur au moins un double six en 24 lancers de deux dés semblait revenir au même, puisque 24 est à 36 ce que 4 est à 6. Pourtant, ce pari était perdant. La règle du complément l'explique : 1 − (35/36)²⁴ vaut environ 0.491, un peu moins de la moitié. Les lettres échangées cet été-là par Pascal et Fermat, surtout sur le partage des mises d'une partie interrompue, sont généralement considérées comme le point de départ de la théorie des probabilités.

Compter les issues une à une convient pour un dé ou deux. Le premier pari de de Méré a déjà 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 issues, et le second bien davantage. Trois règles traitent la plupart des questions de cette taille : la règle du complément pour NON, la règle d'addition pour OU et la règle de multiplication pour ET. Elles répondent aussi à de petites questions, comme la probabilité de tirer un cœur ou un roi dans un jeu de cartes.

« Au moins un six » comprend tout sauf « aucun six »

L'événement contraire de A, noté A′, comprend toutes les issues qui ne sont pas dans A. Puisque A et A′ couvrent tout l'univers sans se recouper, P(A) + P(A′) = 1, donc P(A′) = 1 − P(A). Pour un dé, P(pas de six) = 1 − 1/6 = 5/6. La règle du complément est idéale pour les questions « au moins un », car « au moins un six » est le contraire de « aucun six », dont la probabilité est facile à calculer.

Pair ou inférieur à quatre, en ne comptant le 2 qu'une fois

Une issue appartient à « A OU B » si elle est dans A, dans B ou dans les deux. Additionner P(A) et P(B) compte deux fois les issues communes : on les soustrait donc une fois, P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B). OpenStax prend un dé avec A = pair = {2, 4, 6} et B = inférieur à quatre = {1, 2, 3}. Seul 2 est commun. Ainsi, P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, ce qui correspond au dénombrement direct de {1, 2, 3, 4, 6}. Deux événements qui ne peuvent pas se produire ensemble sont incompatibles : P(A AND B) = 0, et la règle devient une simple addition.

Un dé. A = {2, 4, 6} et B = {1, 2, 3} n'ont que 2 en commun. L'issue 5 n'appartient à aucun : elle forme donc le complément de A OU B.

Pour des lancers indépendants, multiplie 5/6 quatre fois

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, comme des lancers distincts de dé ou de pièce. Pour des événements indépendants, P(A AND B) = P(A) × P(B). Deux piles en deux lancers : 1/2 × 1/2 = 1/4. Aucun six en quatre lancers : 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Ainsi, au moins un six en quatre lancers a pour probabilité 1 − 625/1296 = 671/1296, soit environ 0.518, un peu plus de la moitié. Voilà pourquoi de Méré gagnait le premier pari. Quand les événements ne sont pas indépendants, par exemple lors de tirages de cartes sans remise, la règle de multiplication fait intervenir les probabilités conditionnelles, sujet de la prochaine leçon.

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Quatre dés lancés ensemble représentent quatre lancers d'un même dé. L'événement « Au moins un 6 » est sélectionné ; l'affichage compare la proportion observée à la valeur exacte 671/1296. Lance-les 10 000 fois : les deux valeurs concordent à environ deux décimales.
Règle du complémentP(A′) = 1 − P(A)
Règle d'additionP(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
Événements incompatiblesNe peuvent pas se produire ensemble : P(A AND B) = 0
Événements indépendantsP(A AND B) = P(A) × P(B)
Au moins un1 − P(aucun)
  1. Un dé. Quelle est P(pas de six) ?
  2. P(pluie) = 0.35. Quelle est P(pas de pluie) ?
  3. Un dé. A = pair, B = inférieur à quatre. Quelle est P(A OR B) ?
  4. Un jeu classique de 52 cartes. Quelle est P(cœur OU roi) ?
  5. Quelle paire d'événements est incompatible pour un lancer de dé ?
    • Pair et supérieur à 3
    • Un 1 et un 6
    • Impair et inférieur à 4
    • Pair et un 2
  6. Trois pièces équilibrées. Quelle est P(au moins un pile) ?
  7. Au moins un six en quatre lancers d'un dé : quelle probabilité à 3 décimales ?
  8. Au moins un double six en 24 lancers de deux dés : quelle probabilité à 3 décimales ?
  9. Événements indépendants avec P(A) = 0.3 et P(B) = 0.5. Quelle est P(A AND B) ?
  10. Pourquoi de Méré avait-il tort de considérer les deux paris comme équivalents ?
    • Les dés étaient truqués
    • La probabilité d'« au moins un » ne croît pas proportionnellement au nombre d'essais
    • Deux dés ont 30 issues
    • Les mises des paris étaient différentes
Erreurs fréquentes
  • « Deux dés : P(au moins un six) = 1/6 + 1/6 = 1/3. » Le double six (6, 6) a été compté deux fois. La règle d'addition le soustrait une fois : 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, soit environ 0.306. Le complément donne le même résultat : 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
  • « Six lancers garantissent un six : 6 × 1/6 = 1. » Multiplier la probabilité par le nombre d'essais pousse l'erreur de de Méré encore plus loin. N'obtenir aucun six en six lancers a pour probabilité (5/6)⁶, soit environ 0.335. Obtenir au moins un six vaut donc environ 0.665, pas 1.
  • « Des événements incompatibles sont indépendants. » C'est presque l'inverse. Pour un dé, « pair » et « impair » ne peuvent pas se produire ensemble : P(les deux) = 0, alors que P(pair) × P(impair) = 1/4. Savoir que l'un s'est produit garantit que l'autre ne s'est pas produit : la dépendance est forte.
  • « Le contraire d'au moins un six est un six à chaque lancer. » Le contraire est « aucun six ». « Un six à chaque lancer » fait partie d'« au moins un six » : ce n'est pas en dehors.
Note du professeurApprises comme de simples formules, ces trois règles se confondent facilement. Associe chaque mot à une image : NON à tout ce qui est hors d'un cercle, OU à deux cercles qui se recoupent, ET aux branches d'un arbre. Une fois les règles établies, les paris de de Méré font un bon test, car la mauvaise méthode, passer de 4/6 à 24/36, paraît naturelle. Dans le programme coréen, ces règles relèvent du cours de probabilités et statistique du lycée, qui demande aussi d'éviter les problèmes complexes supposant trois événements ou plus incompatibles ou indépendants.
L'essentiel
  • NON : P(A′) = 1 − P(A). À utiliser pour « au moins un ».
  • OU : P(A) + P(B) − P(A AND B) ; incompatibles signifie sans intersection.
  • ET pour des événements indépendants : multiplier.
  • Un six en 4 lancers ≈ 0.518 ; un double six en 24 lancers ≈ 0.491.
Sources de ce cours (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
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  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Consulté le: 2026-10-17