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NON, O ed E

La probabilità di almeno un sei in quattro lanci è 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, circa 0.518.

Due scommesse sui dadi che nel 1654 sembravano equivalenti

ContestoNell'estate 1654 Blaise Pascal scrisse a Pierre de Fermat su problemi posti da Antoine Gombaud, cavaliere de Méré. Uno riguardava due scommesse. Puntare su almeno un sei in quattro lanci era vantaggioso; Pascal scrisse che il rapporto era «come 671 a 625». Puntare su almeno un doppio sei in 24 lanci di due dadi sembrava equivalente in scala, perché 24 sta a 36 come 4 sta a 6. Eppure era sfavorevole. Lo spiega la regola del complementare: 1 − (35/36)²⁴ vale circa 0.491, poco meno della metà. Le lettere di quell'estate, dedicate soprattutto a dividere la posta di una partita interrotta, sono considerate l'inizio della teoria della probabilità.

Contare uno per uno funziona con uno o due dadi. La prima scommessa di de Méré ha già 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 esiti; la seconda molti di più. Tre regole risolvono gran parte di questi problemi: complementare per NON, addizione per O, moltiplicazione per E. Rispondono anche a domande piccole, come la probabilità di estrarre un cuore o un re.

«Almeno un sei» comprende tutto tranne «nessun sei»

Il complementare di A, scritto A′, contiene ogni esito che non appartiene ad A. Insieme coprono tutto lo spazio campionario senza sovrapporsi: P(A) + P(A′) = 1, quindi P(A′) = 1 − P(A). Per un dado, P(non sei) = 1 − 1/6 = 5/6. È la regola migliore per domande con «almeno uno»: «almeno un sei» è il complementare di «nessun sei», facile da calcolare.

Pari o minore di quattro, contando 2 una sola volta

Un esito appartiene ad «A O B» se è in A, in B o in entrambi. Sommare P(A) e P(B) conta due volte quelli comuni: si sottraggono una volta. P(A O B) = P(A) + P(B) − P(A E B). OpenStax usa un dado con A = pari = {2, 4, 6} e B = minore di quattro = {1, 2, 3}. Solo 2 è comune. Quindi P(A O B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6, come contando direttamente {1, 2, 3, 4, 6}. Se due eventi non possono accadere insieme sono incompatibili, P(A E B) = 0, e basta sommare.

Un dado. A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3} hanno in comune solo 2. L'esito 5 non è in nessuno dei due: costituisce il complementare di A O B.

Per lanci indipendenti, moltiplica 5/6 quattro volte

Due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non cambia la probabilità dell'altro, come lanci distinti di un dado o di una moneta. In questo caso P(A E B) = P(A) × P(B). Due teste in due lanci: 1/2 × 1/2 = 1/4. Nessun sei in quattro lanci: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Almeno un sei vale quindi 1 − 625/1296 = 671/1296, circa 0.518, poco più della metà. Ecco perché la prima scommessa di de Méré era favorevole. Con eventi non indipendenti, come estrazioni di carte senza reinserimento, serve la probabilità condizionata, argomento della prossima lezione.

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Quattro dadi insieme rappresentano quattro lanci di un dado. È selezionato «Almeno un 6» e il pannello confronta la proporzione osservata con 671/1296. Fai 10000 lanci: i due valori concordano circa fino alla seconda cifra decimale.

Regola del complementare	P(A′) = 1 − P(A)
Regola dell'addizione	P(A O B) = P(A) + P(B) − P(A E B)
Incompatibili	Non possono accadere insieme: P(A E B) = 0
Eventi indipendenti	P(A E B) = P(A) × P(B)
Almeno uno	1 − P(nessuno)

Un dado. Quanto vale P(non sei)?
P(pioggia) = 0.35. Quanto vale P(niente pioggia)?
Un dado. A = pari, B = minore di quattro. Quanto vale P(A O B)?
Mazzo standard da 52 carte. Quanto vale P(cuore O re)?
Quale coppia di eventi è incompatibile in un lancio di dado?
- Pari e maggiore di 3
- Un 1 e un 6
- Dispari e minore di 4
- Pari e un 2
Tre monete equilibrate. Quanto vale P(almeno una testa)?
Almeno un sei in quattro lanci di dado, con 3 decimali?
Almeno un doppio sei in 24 lanci di due dadi, con 3 decimali?
Eventi indipendenti con P(A) = 0.3 e P(B) = 0.5. Quanto vale P(A E B)?
Perché de Méré sbagliava a considerare equivalenti le due scommesse?
- I dadi erano truccati
- Le probabilità di «almeno uno» non crescono in proporzione ai tentativi
- Due dadi hanno 30 esiti
- Le poste erano diverse

Errori comuni

«Due dadi: P(almeno un sei) = 1/6 + 1/6 = 1/3.» Il doppio sei (6, 6) è stato contato due volte. La regola dell'addizione lo sottrae: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, circa 0.306. Il complementare dà lo stesso risultato: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
«Sei lanci rendono certo un sei: 6 × 1/6 = 1.» Moltiplicare la probabilità per i tentativi porta oltre l'errore di de Méré. Nessun sei in sei lanci ha probabilità (5/6)⁶, circa 0.335; almeno un sei circa 0.665, non 1.
«Gli eventi incompatibili sono indipendenti.» È quasi il contrario. Con un dado, «pari» e «dispari» non possono accadere insieme: P(entrambi) = 0, mentre P(pari) × P(dispari) = 1/4. Sapere che uno è accaduto esclude con certezza l'altro: è una forte dipendenza.
«Il complementare di almeno un sei è un sei ogni volta.» Il complementare è «nessun sei». «Un sei ogni volta» è uno dei risultati compresi in «almeno un sei», non esterno.

Nota per l'insegnanteImparate solo come formule, queste regole si confondono facilmente. Associa ogni parola a un'immagine: NON con l'esterno di un cerchio colorato, O con due cerchi sovrapposti, E con i rami di un albero. Poi usa le scommesse di de Méré come verifica: il metodo errato, passare da 4/6 a 24/36, sembra molto naturale. Nel curricolo coreano le regole appartengono al corso superiore di Probabilità e statistica, che invita a evitare problemi complicati con tre o più eventi incompatibili o indipendenti.

Punti chiave

NON: P(A′) = 1 − P(A). Utile per «almeno uno».
O: P(A) + P(B) − P(A E B); incompatibili significa senza sovrapposizione.
E per eventi indipendenti: moltiplica.
Un sei in 4 lanci ≈ 0.518; doppio sei in 24 lanci ≈ 0.491.

Fonti di questo corso (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Consultato il: 2026-10-17