Esiti, eventi e probabilità

Un dado equilibrato ha sei facce: la probabilità di ottenere almeno cinque è 2 su 6, circa 0.333.

Le previsioni danno il 30% di probabilità di pioggia domani. È un numero inventato, ma ne hai sentiti di simili. Non ti dice se ti bagnerai. Dice qualcosa di meno preciso, ma utile: la pioggia è possibile, però è meno probabile che piova piuttosto che no. L'autobus arriverà tardi? Il prossimo tiro libero entrerà? Non possiamo saperlo con certezza, ma non siamo del tutto al buio. La probabilità quantifica questa situazione intermedia e va da 0 a 1. Probabilità 0 significa che l'evento è impossibile, 1 che accade sempre, 0.5 che accade con la stessa probabilità con cui non accade.

Un dado ha sei esiti, e «almeno cinque» ne comprende due

I manuali di statistica usano pochi termini da imparare con precisione. Un esperimento è un'azione dal risultato incerto, come lanciare una moneta o un dado. Ogni possibile risultato è un esito. L'insieme di tutti gli esiti possibili è lo spazio campionario, indicato con S. Per una moneta, S = {H, T}. Per un dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un evento è un gruppo di esiti che ci interessa, indicato da una maiuscola. «Ottenere almeno cinque» è l'evento E = {5, 6}.

Sasso, carta, forbici offre un secondo esempio. Ciascuno dei due giocatori mostra uno di tre segni: lo spazio campionario ha 3 × 3 = 9 esiti, da (sasso, sasso) a (forbici, forbici). Tre sono pareggi: entrambi sasso, entrambi carta, entrambi forbici. Se i giocatori scelgono a caso, i nove esiti sono equiprobabili e P(pareggio) = 3/9 = 1/3. Che i giocatori reali scelgano a caso è un'altra questione. La regola di conteggio qui sotto dipende proprio da questa ipotesi.

Quando tutti gli esiti dello spazio campionario sono equiprobabili, basta contare: P(A) = (numero di esiti in A) ÷ (numero di esiti in S). Per il dado, P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, circa 0.333. OpenStax usa una moneta da dieci centesimi e una da cinque: lo spazio campionario è {HH, HT, TH, TT}, quattro esiti. «Esattamente una testa» comprende HT e TH, quindi ha probabilità 2/4 = 0.5. Nota che HT e TH sono esiti diversi. Le due monete sono distinte: tenere traccia del risultato di ciascuna rende equiprobabili i quattro esiti.

Lancia una moneta, poi un'altra: l'albero aggiunge un livello

Puoi elencare gli esiti, disegnare un albero o un diagramma di Venn. Gli elenchi vanno bene per piccoli esperimenti. Gli alberi aiutano quando ci sono fasi successive, come lanciare una moneta e poi un'altra: ogni fase aggiunge un livello di rami e ogni percorso dalla radice a un'estremità dà un esito. I diagrammi di Venn mostrano meglio le sovrapposizioni tra eventi, che incontreremo nella lezione su O ed E.

La regola di conteggio richiede esiti equiprobabili, ma gli oggetti reali non sempre lo sono. OpenStax riporta che studenti, provando una moneta belga da un euro, ottennero testa nel 56% di 250 lanci. Un dado con punti incavati può favorire leggermente alcune facce: per questo nei casinò si riempiono i punti con vernice della stessa densità del cubo. Se gli esiti non sono equiprobabili, la probabilità va ricavata dall'esperienza su molti tentativi, non dal conteggio. La prossima lezione spiega che cosa significa «lungo periodo».