Uitkomsten, gebeurtenissen en kansen

Een eerlijke dobbelsteen heeft zes vlakken. De kans op minstens vijf ogen is dus 2 op 6, ongeveer 0.333.

Volgens het weerbericht is er morgen 30% kans op regen. Dat getal is verzonnen, maar je hebt zulke voorspellingen vast gehoord. Het zegt niet of je nat zult worden. Het zegt iets minder sterks dat toch nuttig is: regen is mogelijk, maar geen regen is waarschijnlijker. Komt de bus te laat? Gaat de volgende vrije worp raak? We weten het niet zeker, maar tasten ook niet helemaal in het duister. Een kans is het getal waarmee we die onzekerheid beschrijven. Het ligt tussen 0 en 1. Een kans van 0 betekent dat de gebeurtenis nooit kan plaatsvinden, 1 dat die altijd plaatsvindt en 0.5 dat de kans dat het wel gebeurt even groot is als de kans dat het niet gebeurt.

Eén dobbelsteen heeft zes uitkomsten, waarvan twee met minstens vijf ogen

In statistiekboeken gebruik je een klein aantal begrippen die je precies moet kennen. Een kansexperiment is iets wat je doet met een onzekere afloop, zoals een munt of dobbelsteen gooien. Elk mogelijk resultaat is een uitkomst. De verzameling van alle mogelijke uitkomsten heet de uitkomstenruimte, geschreven als S. Voor één munt is S = {H, T}. Voor één dobbelsteen is S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Een gebeurtenis is een groep uitkomsten die je interesseert, aangeduid met een hoofdletter. ‘Minstens vijf ogen gooien’ is de gebeurtenis E = {5, 6}.

Steen, papier, schaar is een goed tweede voorbeeld. Twee spelers kiezen elk een van drie handgebaren. De uitkomstenruimte heeft dus 3 × 3 = 9 uitkomsten, van (steen, steen) tot (schaar, schaar). Drie daarvan zijn gelijkspel: allebei steen, allebei papier en allebei schaar. Kiezen beide spelers willekeurig, dan zijn de negen uitkomsten even waarschijnlijk en is P(gelijkspel) = 3/9 = 1/3. Of echte spelers willekeurig kiezen, is een andere vraag. De telregel hieronder berust precies op die aanname.

Zijn alle uitkomsten in de uitkomstenruimte even waarschijnlijk, dan kun je kansen berekenen door te tellen: P(A) = (aantal uitkomsten in A) ÷ (aantal uitkomsten in S). Bij de dobbelsteen is P(E) = 2 ÷ 6 = 1/3, ongeveer 0.333. OpenStax gebruikt een munt van tien dollarcent en een van vijf dollarcent: de uitkomstenruimte is {HH, HT, TH, TT}, vier uitkomsten. De gebeurtenis ‘precies één keer kop’ bevat HT en TH en heeft dus kans 2/4 = 0.5. Let op: HT en TH zijn verschillende uitkomsten. Het gaat om twee afzonderlijke munten. Juist doordat je bijhoudt wat elke munt doet, zijn de vier uitkomsten even waarschijnlijk.

Gooi een munt en daarna nog een: er komt een laag bij in de boom

Je kunt de uitkomsten in een lijst, een boomdiagram of een venndiagram zetten. Een lijst werkt goed bij kleine experimenten. Een boom is handig bij experimenten met meerdere stappen, zoals eerst een munt gooien en daarna nog een. Bij elke stap komt er een laag takken bij. Volg je een pad vanaf het begin tot een uiteinde, dan krijg je één uitkomst. Met venndiagrammen laat je het best zien hoe gebeurtenissen overlappen. Dat komt later aan bod bij OF en EN.

Voor de telregel moeten uitkomsten even waarschijnlijk zijn, en bij echte voorwerpen is dat niet altijd zo. Volgens OpenStax kregen leerlingen die een Belgische euromunt onderzochten in 250 worpen 56% van de keren kop. Een dobbelsteen met uitgeholde stippen kan iets vaker op bepaalde vlakken vallen. Daarom zijn de stippen van casinodobbelstenen gevuld met verf met dezelfde dichtheid als de kubus. Zijn uitkomsten niet even waarschijnlijk, dan moet je de kans afleiden uit ervaring op de lange duur in plaats van te tellen. In de volgende les zie je wat ‘op de lange duur’ betekent.