edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Kansrekening en statistiek›Kansrekening

NIET, OF en EN

De kans op minstens één zes in vier worpen met een dobbelsteen is 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, ongeveer 0.518.

Twee dobbelweddenschappen die in 1654 hetzelfde leken

AchtergrondIn de zomer van 1654 schreef Blaise Pascal aan Pierre de Fermat over vragen van Antoine Gombaud, de Chevalier de Méré. Eén vraag ging over twee weddenschappen. Inzetten op minstens één zes in vier worpen met een dobbelsteen was gunstig. Volgens Pascal was de verhouding ‘671 tot 625’. Inzetten op minstens één dubbele zes in 24 worpen met twee dobbelstenen leek dezelfde weddenschap op grotere schaal: 24 staat tot 36 als 4 tot 6. Toch was die ongunstig. Met de complementregel zie je waarom: 1 − (35/36)²⁴ is ongeveer 0.491, net onder de helft. De brieven die Pascal en Fermat die zomer wisselden, vooral over de verdeling van de inzet bij een afgebroken spel, worden meestal als het begin van de kansrekening beschouwd.

Bij één of twee dobbelstenen kun je de uitkomsten afzonderlijk tellen. De eerste weddenschap van De Méré heeft al 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 uitkomsten en de tweede nog veel meer. Drie regels helpen bij de meeste vragen van deze omvang: de complementregel voor NIET, de somregel voor OF en de productregel voor EN. Je kunt er ook kleine vragen mee beantwoorden, zoals de kans op een hartenkaart of een koning uit een kaartspel.

‘Minstens één zes’ is alles behalve ‘geen enkele zes’

Het complement van een gebeurtenis A, geschreven als A′, bevat elke uitkomst die niet in A zit. Samen vormen A en A′ de hele uitkomstenruimte, zonder overlap. Daarom is P(A) + P(A′) = 1, dus P(A′) = 1 − P(A). Bij één dobbelsteen is P(geen zes) = 1 − 1/6 = 5/6. De complementregel is het handigst bij vragen over ‘minstens één’: ‘minstens één zes’ is het complement van ‘helemaal geen zes’, en die laatste kans is eenvoudig te berekenen.

Even of minder dan vier, waarbij je de 2 maar één keer telt

Een uitkomst zit in ‘A OF B’ als die in A, in B of in beide zit. Tel je P(A) en P(B) op, dan tel je de gezamenlijke uitkomsten dubbel. Trek ze daarom één keer af: P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B). OpenStax gebruikt één dobbelsteen met A = even = {2, 4, 6} en B = minder dan vier = {1, 2, 3}. Alleen 2 zit in beide. Dus P(A OR B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6. Dat komt overeen met rechtstreeks tellen van {1, 2, 3, 4, 6}. Kunnen twee gebeurtenissen niet samen plaatsvinden, dan sluiten ze elkaar uit: P(A AND B) = 0. De regel wordt dan een gewone optelling.

Eén dobbelsteen. A = {2, 4, 6} en B = {1, 2, 3} overlappen alleen bij 2. De uitkomst 5 zit in geen van beide en vormt dus het complement van A OF B.

Vermenigvuldig bij onafhankelijke worpen vier keer 5/6

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het plaatsvinden van de ene de kans op de andere niet verandert, zoals afzonderlijke dobbelsteen- of muntworpen. Bij onafhankelijke gebeurtenissen geldt P(A AND B) = P(A) × P(B). Twee keer kop bij twee worpen: 1/2 × 1/2 = 1/4. Geen zes bij vier worpen: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296. Minstens één zes bij vier worpen heeft dus kans 1 − 625/1296 = 671/1296, ongeveer 0.518, iets boven de helft. Daarom won De Méré de eerste weddenschap. Zijn gebeurtenissen niet onafhankelijk, zoals kaarten trekken zonder terugleggen, dan heb je voor de productregel voorwaardelijke kansen nodig. Daarover gaat de volgende les.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Vier dobbelstenen tegelijk staan voor vier worpen met één dobbelsteen. De gebeurtenis ‘Minstens één 6’ is geselecteerd. Je vergelijkt het waargenomen aandeel met de exacte waarde 671/1296. Gooi 10 000 keer en de twee komen tot ongeveer twee decimalen overeen.
ComplementregelP(A′) = 1 − P(A)
SomregelP(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)
Elkaar uitsluitendKunnen niet tegelijk plaatsvinden: P(A AND B) = 0
Onafhankelijke gebeurtenissenP(A AND B) = P(A) × P(B)
Minstens één1 − P(geen)
  1. Eén dobbelsteen. Wat is P(geen zes)?
  2. P(regen) = 0.35. Wat is P(geen regen)?
  3. Eén dobbelsteen. A = even, B = minder dan vier. Wat is P(A OR B)?
  4. Een standaard kaartspel met 52 kaarten. Wat is P(harten OF koning)?
  5. Welk paar gebeurtenissen sluit elkaar uit bij één dobbelsteenworp?
    • Even en groter dan 3
    • Een 1 en een 6
    • Oneven en kleiner dan 4
    • Even en een 2
  6. Drie eerlijke munten. Wat is P(minstens één keer kop)?
  7. Wat is de kans op minstens één zes bij vier dobbelsteenworpen, op 3 decimalen?
  8. Wat is de kans op minstens één dubbele zes bij 24 worpen met twee dobbelstenen, op 3 decimalen?
  9. Onafhankelijke gebeurtenissen met P(A) = 0.3 en P(B) = 0.5. Wat is P(A AND B)?
  10. Waarom had De Méré ongelijk toen hij de twee weddenschappen als gelijk beschouwde?
    • De dobbelstenen waren verzwaard
    • Kansen op ‘minstens één’ groeien niet evenredig met het aantal pogingen
    • Twee dobbelstenen hebben 30 uitkomsten
    • De inzetten verschilden
Veelgemaakte fouten
  • ‘Twee dobbelstenen: P(minstens één zes) = 1/6 + 1/6 = 1/3.’ De dubbele zes (6, 6) is twee keer geteld. Met de somregel trek je die één keer af: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36, ongeveer 0.306. Het complement geeft hetzelfde antwoord: 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36.
  • ‘Bij zes worpen is een zes zeker: 6 × 1/6 = 1.’ De kans vermenigvuldigen met het aantal pogingen is De Méré's fout nog verder doortrekken. De kans op geen zes bij zes worpen is (5/6)⁶, ongeveer 0.335. De kans op minstens één zes is dus ongeveer 0.665, niet 1.
  • ‘Gebeurtenissen die elkaar uitsluiten zijn onafhankelijk.’ Het is eerder het tegenovergestelde. Bij één dobbelsteen kunnen ‘even’ en ‘oneven’ niet tegelijk optreden, dus P(beide) = 0, terwijl P(even) × P(oneven) = 1/4. Als je weet dat het ene is gebeurd, weet je zeker dat het andere niet is gebeurd. Dat is sterke afhankelijkheid.
  • ‘Het complement van “minstens één zes” is “elke keer een zes”.’ Het complement is ‘helemaal geen zes’. ‘Elke keer een zes’ valt juist binnen ‘minstens één zes’, niet erbuiten.
Voor de docentAls leerlingen deze drie regels alleen als formules leren, halen ze die gemakkelijk door elkaar. Koppel elk woord aan een beeld: NIET aan alles buiten een cirkel inkleuren, OF aan twee overlappende cirkels en EN aan de takken van een boom. Als de regels duidelijk zijn, zijn De Méré's weddenschappen een goede toets. De foute methode, 4/6 opschalen naar 24/36, voelt immers zo vanzelfsprekend. In het Koreaanse leerplan horen deze regels bij het bovenbouwvak Kansrekening en statistiek. Daarin staat ook dat je ingewikkelde vragen moet vermijden waarin drie of meer gebeurtenissen elkaar uitsluiten of onafhankelijk zijn.
Belangrijkste punten
  • NIET: P(A′) = 1 − P(A). Gebruik dit voor ‘minstens één’.
  • OF: P(A) + P(B) − P(A AND B); elkaar uitsluitend betekent geen overlap.
  • EN bij onafhankelijke gebeurtenissen: vermenigvuldigen.
  • Eén zes in 4 worpen ≈ 0.518; dubbele zes in 24 worpen ≈ 0.491.
Bronnen van deze cursus (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

Geraadpleegd: 2026-10-17