edubun
日本語
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
ホーム›確率と統計›確率

条件付き確率と独立

OpenStaxの100人の標本では左利きが13人ですが、女性48人のうちでは4人で、約0.083です。

雨の日の多くは曇りです。曇りの日の多くは雨でしょうか？

架空の30日間を考えます。雨は5日で、その5日のうち4日は曇りでした。曇りは全部で十二日です。雨の日の多く、5日中4日は曇りでした。これを逆にして、曇りの日の多くは雨だと考えたくなります。しかし曇り12日中、雨は4日で三分の一です。どちらも分子は同じ4日ですが、割る相手の集団が違います。この集団を選ぶのが条件付き確率の考え方です。

新しい情報で確率は変わります。カードが絵札だとわかれば、キングの確率は4/52から4/12に上がります。Bが起きた条件のもとでAが起きる確率をP(A | B)と書き、「BのもとでのA」と読みます。条件によって標本空間が狭まり、全結果ではなくBの中だけで数えます。式ではP(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B)で、P(B)が零でないことが必要です。

OpenStaxのサイコロの例では、A = 目が2または3、B = 目が偶数とします。Bのもとでは2、4、6だけが可能で、Aに入るのは2だけなので、P(A | B) = 1/3です。式でもP(A AND B) = 1/6、P(B) = 3/6より、(1/6) ÷ (3/6) = 1/3です。条件なしでもP(A) = 2/6 = 1/3で同じです。ここではBを知ってもAの確率が変わらないという、注目したい一致です。

一つの表から、左利きについて三つの答えが出ます

条件付き確率は分割表で見るとわかりやすくなります。OpenStaxの表3.1は、無作為に選んだ100人を出生時に割り当てられた性別と利き手で分けています。全体では100人中13人が左利きなので、P(L) = 0.13です。男性52人中9人が左利きなので、P(L | M) = 9/52で約0.173です。女性48人中では4人なので、P(L | F) = 4/48で約0.083です。条件を逆にすると、左利き13人中4人が女性なので、P(F | L) = 4/13で約0.308です。P(A | B)とP(B | A)は普通は等しくありません。入れ替えると、冒頭の天気の誤解になります。

右利き左利き合計
男性43952
女性44448
合計8713100

この標本では、利き手と性別は独立ではありません

P(A | B) = P(A)なら、AとBは独立です。Bが起きたと知ってもAについて新しい情報は得られません。利き手の標本ではP(L | M) = 0.173とP(L) = 0.13が違うので、この100人では利き手と性別は独立ではありません。コイン投げは独立の典型です。最初がどちらでも、次が表の確率は1/2です。一方、最初の結果で残りが変わると従属します。カードを戻さず二枚引く場合、P(最初がエース) = 4/52で、その後は51枚中エースが3枚なので、P(次がエース | 最初がエース) = 3/51です。二枚ともエースの確率は4/52 × 3/51 = 1/221で、約0.0045です。

偏りのないコインでも、100回なら六回以上の連続が普通です

独立性から、長い連続が異常の証拠ではないこともわかります。偏りのないコインを100回投げると、同じ面の最長連続が6回以上になるのは約81%、8回以上は約31%で、最長連続の平均は約7回です。「無作為な」列を自分で書くよう求められた人は、三回や四回を超える連続を避けがちです。先生がコイン投げの宿題の作り話を見抜く手がかりの一つになります。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

すでに百回投げてあります。「最長の連続回数」を見てから、「リセット」と「100回投げる」を何度か押しましょう。最長が5回から8回なのは、偏りのないコインで普通に起こります。
P(A | B)P(A AND B) ÷ P(B)：Bの中にあるAだけを数えます
独立P(A | B) = P(A)
戻さずに引く後の結果が前の結果に依存します
P(A | B)とP(B | A)普通は異なるので、入れ替えてはいけません
  1. 表3.1で、左利きの確率P(L)はいくつですか？
  2. 表3.1で、P(L | M)はいくつですか？
  3. 表3.1で、P(L | F)はいくつですか？
  4. 表3.1で、P(F | L)はいくつですか？
  5. 表3.1のP(R | M)を小数第4位まで求めましょう。
  6. 表3.1で、「左利き」と「男性」は独立ですか？
    • はい。どちらも人についての事象だからです
    • いいえ。P(L | M) ≈ 0.173はP(L) = 0.13と異なるからです
    • はい。表の合計が100だからです
    • 確かめられません
  7. サイコロ一個で、A = 2か3、B = 偶数です。P(A | B)はいくつですか？
  8. 戻さずに二枚引きます。P(次がエース | 最初がエース)はいくつですか？
  9. 戻さずに二枚引くとき、P(二枚ともエース)はいくつですか？
  10. サイコロ二個で、最初の目が3とわかっています。P(和 = 8)はいくつですか？
よくある間違い
  • 「サッカーチームの全員が学校でスニーカーを履くので、スニーカーの生徒はほぼ確実にチームの一員です」 これはP(スニーカー | チーム)とP(チーム | スニーカー)を逆にしています。架空のクラスで、チームの6人全員が履いていればP(スニーカー | チーム) = 1です。しかし履いている生徒が24人なら、P(チーム | スニーカー) = 6/24 = 1/4です。
  • 「架空の月では、P(雨 | 曇り) = 4/30です」 4/30はP(雨 AND 曇り)です。条件では曇りの12日だけを数えるので、P(雨 | 曇り) = 4/12 = 1/3です。全体でなく、条件に合う集団の大きさで割ります。
  • 「五枚のくじのうち二枚が当たりです。二人が戻さず一枚ずつ引くので、P(両方当たり) = 2/5 × 2/5 = 4/25です」 最初の当たりを引くと、残り4枚中当たりは1枚です。P(両方当たり) = 2/5 × 1/4 = 1/10です。二回目は一回目に依存するため、後の因数は条件付き確率にします。
  • 「P(A | B)が高いので、BがAの原因です」 条件付き確率は個数の関係を表すだけです。表3.1でP(L | M)はP(L | F)より高いものの、理由は書かれていません。韓国の教育課程も、条件付き確率を時間的な順序や因果関係として読まないよう求めています。
先生からひとこと役立つ習慣は二つあります。条件を「～の中で」と声に出しましょう。P(L | F)は「女性の中で、左利きである割合」です。そして計算前に、どの行や列の合計で割るか指さします。架空の天気は、曇りか否かと雨か否かの2 × 2の表にすると便利です。30日の情報から、曇りで雨4日、曇りで雨なし8日、晴れで雨1日、晴れで雨なし17日を埋めます。韓国の高校では、条件付き確率、独立と従属、乗法定理は別々の学習基準です。
ポイント
  • P(A | B) = P(A AND B) ÷ P(B)です。条件によって標本空間が狭まります。
  • P(A | B)とP(B | A)は異なる問いです。
  • 独立ならP(A | B) = P(A)です。コイン投げは独立ですが、戻さないカードは違います。
  • 偏りのないコインを100回投げると、最長連続が7回程度なのは普通です。
このコースの出典 (9)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
  • Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
  • 4.3 binomial distribution
  • 7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
  • Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
  • Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
  • Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
  • Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
  • Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

確認日: 2026-10-17