조건부확률과 독립

OpenStax의 100명 표본에서 왼손잡이는 13명이지만, 여성 48명 가운데에서는 4명, 약 0.083뿐입니다.

비 오는 날은 거의 다 흐립니다. 그러면 흐린 날은 거의 다 비가 올까요

지어낸 30일짜리 한 달을 봅시다. 비가 온 날은 5일이고, 그 5일 가운데 4일은 하늘이 흐렸습니다. 흐린 날은 모두 12일이었습니다. 비 오는 날 가운데 흐린 날이 5일 중 4일이니 「비 오는 날은 거의 다 흐리다」는 맞습니다. 이 말을 뒤집어 「흐린 날은 거의 다 비가 온다」고 하고 싶어지지만, 흐린 12일 가운데 비가 온 날은 4일, 3분의 1뿐입니다. 두 질문 모두 분자에는 같은 4일이 들어가는데, 나누는 집단이 다릅니다. 무엇으로 나눌지 정하는 것이 조건부확률입니다.

새로운 정보가 생기면 확률이 바뀝니다. 뽑은 카드가 그림 카드라는 것을 알면 그 카드가 킹일 확률은 4/52에서 4/12로 올라갑니다. 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률을 B가 일어났을 때의 A의 조건부확률이라 하고 P(A | B)로 씁니다. 조건이 붙으면 표본공간이 B로 줄어듭니다. 모든 결과 가운데에서 세지 않고 B에 속한 결과 가운데에서만 셉니다. 식으로는 P(A | B) = P(A 그리고 B) ÷ P(B)이고, P(B)가 0이 아니어야 합니다.

OpenStax 교과서의 주사위 예도 봅시다. A = 「2 또는 3이 나온다」, B = 「짝수가 나온다」입니다. 짝수라는 조건이 붙으면 가능한 눈은 2, 4, 6뿐이고, 그중 A에 속하는 것은 2 하나라서 P(A | B) = 1/3입니다. 식으로 구해도 P(A 그리고 B) = 1/6, P(B) = 3/6이니 (1/6) ÷ (3/6) = 1/3입니다. 그런데 조건이 없을 때의 P(A)도 2/6 = 1/3입니다. 이 예에서는 B를 알아도 A의 확률이 그대로입니다. 그냥 넘기기 쉬운 우연이지만, 뒤에 나오는 독립이 바로 이런 경우입니다.

표 하나에서 왼손잡이 확률이 세 가지로 나옵니다

조건부확률은 두 기준으로 나눈 이원표에서 가장 잘 보입니다. OpenStax 표 3.1은 무작위로 뽑은 100명을 출생 시 성별과 주로 쓰는 손에 따라 나눈 표입니다. 100명 가운데 왼손잡이는 13명이라 P(L) = 0.13입니다. 남성 52명만 보면 왼손잡이가 9명이니 P(L | M) = 9/52, 약 0.173이고, 여성 48명만 보면 4명이니 P(L | F) = 4/48, 약 0.083입니다. 남성 왼손잡이 9명과 여성 왼손잡이 4명을 더하면 13명, 오른손잡이 43명과 44명을 더하면 87명으로 표의 합계와 맞습니다. 조건을 뒤집으면 또 다른 수가 나옵니다. 왼손잡이 13명 가운데 여성은 4명이라 P(F | L) = 4/13, 약 0.308입니다. P(A | B)와 P(B | A)는 같은 경우가 드물고, 둘을 바꿔 읽는 것이 이 단원 첫머리의 날씨 이야기에서 본 실수입니다.

	오른손잡이	왼손잡이	합계
남성	43	9	52
여성	44	4	48
합계	87	13	100

이 표본에서 주로 쓰는 손과 성별은 독립이 아닙니다

P(A | B) = P(A)이면 두 사건 A와 B는 서로 독립이고, 독립이 아니면 종속이라고 합니다. B가 일어났다는 것을 알아도 A에 관해 새로 알게 되는 것이 없다면 독립입니다. 표 3.1에서 P(L | M) = 0.173은 P(L) = 0.13과 다르므로, 이 100명에서 주로 쓰는 손과 성별은 독립이 아닙니다. 동전 던지기는 독립의 대표 예입니다. 첫 번째에 무엇이 나왔든 두 번째가 앞면일 확률은 1/2입니다. 앞의 결과가 남은 것을 바꾸면 종속이 됩니다. 카드 두 장을 다시 넣지 않고 차례로 뽑으면 첫 장이 에이스일 확률은 4/52이고, 첫 장이 에이스였다면 남은 51장 중 에이스는 3장이므로 P(둘째가 에이스 | 첫째가 에이스) = 3/51입니다. 둘 다 에이스일 확률은 확률의 곱셈정리로 4/52 × 3/51 = 1/221, 약 0.0045입니다.

공정한 동전 100번이면 같은 면 6번 이상 연속이 보통입니다

독립을 알면 같은 면이 길게 이어지는 것이 이상하다는 신호가 아닌 것도 이해됩니다. 공정한 동전을 100번 던질 때 같은 면이 가장 길게 이어진 길이가 6번 이상일 확률은 약 81%, 8번 이상일 확률은 약 31%이고, 평균은 약 7번입니다. 사람들에게 「무작위」 순서를 지어내 적어 보라고 하면 대개 서너 번보다 긴 연속을 피합니다. 그래서 선생님이 지어낸 동전 던지기 숙제를 가려낼 때 쓰는 방법이 되기도 합니다. 홀짝 놀이에서 홀이 다섯 번 연달아 나와도 이상하게 여길 일이 아닙니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

이미 100번을 던진 상태입니다. 아래 「가장 긴 연속」을 보고, 「처음부터」를 누른 뒤 「100번」을 여러 번 눌러 보세요. 공정한 동전은 보통 5~8번짜리 연속을 만듭니다.

P(A \| B)	P(A 그리고 B) ÷ P(B): B 안에서만 A를 셈
독립	P(A \| B) = P(A)
비복원 추출	앞에서 뽑은 것이 뒤의 확률을 바꿈
P(A \| B)와 P(B \| A)	대개 다름, 바꿔 쓰면 안 됨

표 3.1. 왼손잡이일 확률 P(L)은?
표 3.1. P(L | M)은?
표 3.1. P(L | F)는?
표 3.1. P(F | L)은?
표 3.1. P(R | M)을 소수 넷째 자리까지?
표 3.1에서 「왼손잡이」와 「남성」은 독립인가요?
- 예, 둘 다 사람에 관한 것이라서
- 아니요, P(L | M) ≈ 0.173이 P(L) = 0.13과 달라서
- 예, 표의 합이 100이라서
- 확인할 수 없다
주사위 하나. A = 2 또는 3, B = 짝수. P(A | B)는?
카드 두 장을 다시 넣지 않고 뽑습니다. P(둘째가 에이스 | 첫째가 에이스)는?
카드 두 장을 다시 넣지 않고 뽑을 때 둘 다 에이스일 확률은?
주사위 두 개. 첫 주사위가 3일 때 합이 8일 확률은?

자주 하는 실수

「축구부는 모두 운동화를 신고 오니, 운동화를 신은 학생은 거의 다 축구부다.」 P(운동화 | 축구부)와 P(축구부 | 운동화)를 바꿔 읽었습니다. 지어낸 반에서 축구부 6명이 모두 운동화를 신으면 P(운동화 | 축구부) = 1입니다. 그래도 운동화를 신은 학생이 24명이라면 P(축구부 | 운동화) = 6/24 = 1/4입니다.
「지어낸 한 달에서 P(비 | 흐림) = 4/30이다.」 4/30은 P(비 그리고 흐림)입니다. 조건이 붙었으니 흐린 12일 안에서만 세야 하고, P(비 | 흐림) = 4/12 = 1/3입니다. 전체가 아니라 조건에 해당하는 집단의 크기로 나눕니다.
「제비 5개 가운데 당첨이 2개다. 두 사람이 차례로 하나씩 뽑고 다시 넣지 않으면 둘 다 당첨될 확률은 2/5 × 2/5 = 4/25이다.」 첫 사람이 당첨 제비를 가져가면 남은 4개 중 당첨은 1개입니다. 둘 다 당첨될 확률은 2/5 × 1/4 = 1/10입니다. 두 번째 뽑기는 첫 번째에 따라 달라지니, 두 번째 인수는 조건부확률이어야 합니다. 순서도 걱정할 필요가 없습니다. 두 번째 사람이 당첨될 확률은 2/5 × 1/4 + 3/5 × 2/4 = 2/5로 첫 번째 사람과 같습니다.
「P(A | B)가 크니 B 때문에 A가 일어난다.」 조건부확률은 개수의 비율을 말할 뿐입니다. 표 3.1에서 P(L | M)이 P(L | F)보다 크지만, 표는 그 까닭에 대해 아무것도 말하지 않습니다. 교육과정도 조건부확률을 사건의 시간적 순서나 인과관계로 해석하지 않게 하라고 적고 있습니다.

선생님 메모가장 도움이 되는 습관은 두 가지입니다. 조건을 「~ 가운데」로 소리 내어 읽게 하고(P(L | F)는 「여성 가운데 왼손잡이의 비율」), 계산하기 전에 나눌 행이나 열을 손가락으로 짚게 하세요. 칠판에서는 지어낸 30일 날씨를 흐림·흐리지 않음과 비·비 없음으로 나눈 2 × 2 표로 그리고 빈칸을 채우게 하면 좋습니다. 흐리고 비 온 날 4일, 흐렸지만 비가 없던 날 8일, 흐리지 않았는데 비 온 날 1일, 둘 다 아닌 날 17일입니다. 2022 개정 교육과정 고등학교 확률과 통계에는 [12확통02-04] 조건부확률, [12확통02-05] 사건의 독립과 종속, [12확통02-06] 확률의 곱셈정리가 따로 있고, 기호는 P(B | A)처럼 씁니다. 고려 사항에는 조건부확률을 사건의 시간적 순서나 인과관계로 해석하지 않도록 하라는 말이 있습니다.

핵심 정리

P(A | B) = P(A 그리고 B) ÷ P(B): 조건이 표본공간을 줄임.
P(A | B)와 P(B | A)는 다른 질문.
독립: P(A | B) = P(A). 동전은 독립, 비복원 카드 뽑기는 아님.
공정한 동전 100번이면 가장 긴 연속 7번 안팎은 흔함.

이 과정의 출처 (9)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수04-04]~[6수04-06] 가능성을 말과 0, 1/2, 1 같은 수로 나타내기; 중학교 1~3학년군 [9수04-03] 상대도수, [9수04-05] 경우의 수(두 경우의 수를 더하거나 곱하는 정도), [9수04-06] 확률(상대도수로서의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미, 각 경우의 가능성이 같다는 가정), 용어 상대도수·사건·확률; 공통수학1 [10공수1-03-01]~[10공수1-03-03] 합의 법칙·곱의 법칙·순열·조합, 기호 nCr; 확률과 통계 [12확통01-03] 이항정리, 용어 이항계수·파스칼의 삼각형; [12확통02-01]~[12확통02-06] 확률의 기본 성질·덧셈정리·여사건의 확률·조건부확률·독립과 종속·곱셈정리, 용어 시행·통계적 확률·수학적 확률·여사건·배반사건·조건부확률·종속·독립·독립시행과 기호 P(A), P(B|A); [12확통03-03] 이항분포, [12확통03-04] 정규분포와 이항분포의 관계, [12확통03-05]·[12확통03-06] 임의추출·표본평균과 모평균, 용어 큰 수의 법칙·이항분포·정규분포·모평균·표본평균과 기호 B(n, p), N(m, σ²), X̄)
Textbook: OpenStax, Introductory Statistics 2e by Barbara Illowsky and Susan Dean, 3.1 terminology, equally likely outcomes, dime and nickel, law of large numbers, Belgian one euro coin 56% heads in 250 trials, conditional probability, Table 3.1 handedness of 100 people (openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology)
4.3 binomial distribution
7.1 central limit theorem for sample means, example mean 90, SD 15, n = 25, standard error 3 (.../pages/7-1-the-central-limit-theorem-for-sample-means-averages)
Yut rules for the Korean example only: 국립민속박물관 한국민속대백과사전 「윷놀이」, 도·개·걸·윷·모 by how many of the four sticks land 뒤집어진 (folkency.nfm.go.kr/kr/topic/detail/1595, read 2026-10-19)
Kerrich story: John Kerrich, 10,000 tosses, 5,067 heads (JMP case study JMP014 by DeWayne Derryberry, jmp.com/en/academic/case-study-library/is-a-coin-fair, citing Baldi and Moore; Wikipedia "John Edmund Kerrich")
Galileo story: Sopra le scoperte dei dadi, sum 10 in 27 ways and 9 in 25 ways with three dice (English translation, University of York history of statistics, york.ac.uk/depts/maths/histstat/galileo.pdf)
Pascal story: Pascal to Fermat, 29 July 1654, one six in four throws "as 671 to 625" (American Physical Society, aps.org/apsnews/2009/07/pascal-letters-fermat-points; Gaston Sanchez, De Mere's games; Statistical Science 2024 "Antoine Gombaud, Chevalier de Méré")
Galton story: Francis Galton, Natural Inheritance of 1889, the quincunx (Wikipedia "Galton board")

확인한 날: 2026-10-17