Stichprobenumfang und zentraler Grenzwertsatz

Der Mittelwert von 25 Werten aus einer Grundgesamtheit mit Standardabweichung 15 hat den Standardfehler 15 ÷ √25 = 3.

Minji mittelt fünf Würfelwürfe, dreihundertmal

Eine erfundene Geschichte: Minji hat einen Würfel und viel Geduld. Sie würfelt fünfmal, notiert den Mittelwert und beginnt von vorn. Nach 300 Runden hat sie 300 Mittelwerte. Ein einzelner Wurf liefert jede Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Deshalb erwartet sie ebenso gleichmäßig verteilte Mittelwerte. Doch ungefähr vier von fünf liegen zwischen 2.5 und 4.5, weniger als einer von hundert unter 1.5 oder über 5.5. Das Labor beginnt mit demselben Versuch: 300 Stichproben vom Umfang 5. Warum drängen sich die Mittelwerte zusammen, und wie stark?

Umfragen, Meinungsforschung, Qualitätskontrollen am Fließband und medizinische Studien funktionieren ähnlich. Niemand misst alle. Stattdessen schätzt man den Mittelwert der Grundgesamtheit anhand eines Stichprobenmittelwerts. Verschiedene Stichproben liefern verschiedene Mittelwerte. Entscheidend ist daher, wie stark der Mittelwert von Stichprobe zu Stichprobe schwankt und wie diese Schwankung vom Stichprobenumfang abhängt.

Ein Würfel als gleichverteilte Grundgesamtheit mit Mittelwert 3.5

Ein fairer Würfel ist eine kleine, übersichtliche Grundgesamtheit. Die Werte 1 bis 6 sind gleich wahrscheinlich. Ihr Mittelwert ist μ = 3.5, ihre Standardabweichung σ = √(35/12), etwa 1.708. Die Verteilung ist flach, keine Glocke. Ziehe nun eine Stichprobe: Würfle n-mal und bilde den Mittelwert. Bei n = 1 ist das ein einzelner Wurf, also ebenfalls gleichverteilt. Bei n = 2 ist es die Augensumme zweier Würfel geteilt durch 2, mit der bekannten Zeltform. Bei n = 5 oder 10 ist das Histogramm der Mittelwerte bereits ein glatter Hügel um 3.5, der mit wachsendem n schmaler wird.

Stichprobenmittelwerte häufen sich um μ, mit Streuung σ/√n

OpenStax formuliert den zentralen Grenzwertsatz für Mittelwerte so: Ziehe Zufallsstichproben vom Umfang n aus einer beliebigen Grundgesamtheit mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ. Mit wachsendem n nähern sich die Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ/√n. σ/√n heißt Standardfehler des Mittelwerts. OpenStax betont einen leicht übersehenen Punkt: n zählt die gemeinsam gemittelten Werte, nicht die Wiederholungen des Versuchs. Mehr Stichproben füllen das Histogramm; größere Stichproben machen es schmaler. Bei Minji ist n gleich 5, nicht 300.

Zwei Folgen sind praktisch wichtig. Erstens trifft der Stichprobenmittelwert im Durchschnitt den richtigen Wert: Die Mittelwerte häufen sich um μ, nicht darüber oder darunter. Zweitens wächst die Genauigkeit nur mit der Quadratwurzel von n. Beim Würfel beträgt der Standardfehler für einzelne Würfe 1.708/√1 = 1.708, für Stichproben vom Umfang 25 etwa 1.708/√25 ≈ 0.342 und beim Umfang 100 etwa 1.708/√100 ≈ 0.171. Vierfacher Umfang halbiert den Standardfehler; hundertfacher Umfang teilt ihn durch zehn. OpenStax verwendet eine Grundgesamtheit mit Mittelwert 90 und Standardabweichung 15. Bei Umfang 25 ist der Standardfehler 15/√25 = 3. Zwei Standardfehler über dem Erwartungswert liegt also 90 + 2 × 3 = 96.

Auch bei schiefer Grundgesamtheit ergibt n = 30 einen Hügel von Mittelwerten

Der Satz setzt keine glockenförmige Grundgesamtheit voraus. Wähle im Labor die schiefe Grundgesamtheit: Kleine Werte sind häufig, große selten, der Mittelwert ist 3.06. Bei n = 1 hat das Histogramm einen langen rechten Ausläufer. Bei n = 30 bilden die Mittelwerte einen fast symmetrischen Hügel um 3.06. Deshalb können Umfragen eine Fehlerspanne nennen, ohne die Meinungsverteilung zu kennen. Bei Ja-Nein-Fragen besteht die Grundgesamtheit aus 0 und 1 mit σ höchstens 0.5. Bei 1000 Befragten beträgt die 95%-Fehlerspanne etwa 2 × 0.5/√1000 ≈ 0.032, die bekannten „plus/minus 3 Prozentpunkte“.