Stelsels grafisch oplossen

Het punt (2, −1) maakt zowel 3x − y = 7 als x − 2y = 4 waar, dus daar snijden de twee lijnen elkaar.

Twee vergelijkingen, één geordend paar

Een stelsel lineaire vergelijkingen bestaat uit twee of meer vergelijkingen die je samen bekijkt. Een oplossing van een stelsel van twee vergelijkingen is een geordend paar (x, y) dat beide vergelijkingen tegelijk waar maakt. Controleer een paar door het in elke vergelijking in te vullen. OpenStax gebruikt het stelsel 3x − y = 7 en x − 2y = 4 met het paar (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 en 2 − 2(−1) = 4. Het werkt dus voor beide en is een oplossing. Een paar dat slechts aan één vergelijking voldoet, is geen oplossing van het stelsel.

Met grafieken maak je hiervan een tekening. Elke vergelijking heeft een lijn die uit alle oplossingen bestaat. Een punt op beide lijnen is een oplossing van beide vergelijkingen, dus de oplossing van het stelsel is het snijpunt van de lijnen. Om grafisch op te lossen, schrijf je elke vergelijking in de vorm y = mx + b, teken je beide lijnen op hetzelfde rooster en lees je het snijpunt af. Voor het stelsel van OpenStax wordt 3x − y = 7 gelijk aan y = 3x − 7 en x − 2y = 4 gelijk aan y = (1/2)x − 2. Samen getekend snijden ze elkaar in (2, −1).

Eén oplossing, geen of oneindig veel

Twee lijnen in een vlak kunnen elkaar op slechts drie manieren ontmoeten. Hun richtingscoëfficiënten vertellen je al vóór het tekenen welke. Lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten snijden elkaar in precies één punt, dus het stelsel heeft één oplossing. Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt en verschillende snijpunten met de y-as zijn evenwijdig en snijden elkaar nooit, dus er is geen oplossing. Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt en hetzelfde snijpunt met de y-as zijn dezelfde lijn. OpenStax noemt ze samenvallende lijnen. Elk punt erop is een oplossing, dus er zijn oneindig veel oplossingen. Het leerboek geeft ook namen aan deze gevallen: een stelsel met minstens één oplossing is consistent en een stelsel zonder oplossing is inconsistent.

Grafisch oplossen heeft een beperking. Je ziet het antwoord duidelijk als het snijpunt op roosterpunten ligt, maar als de lijnen elkaar in (1/3, 5/7) snijden, kun je dat niet betrouwbaar aflezen uit een tekening. In het grafieklab hieronder kun je het snijpunt exact als breuk zien en vergelijken hoe ver je er met aflezen op het oog naast zou zitten. Met substitutie en eliminatie vind je zulke antwoorden uitsluitend met algebra, zoals je leert bij stelsels. Grafisch oplossen blijft de beste manier om te begrijpen wat een stelsel betekent.

Met stelsels beantwoord je vergelijkingsvragen. Bij lineaire vergelijkingen kosten twee verzonnen telefoonabonnementen y = 2x + 20 en y = x + 32 dollar voor x gigabyte. Als stelsel snijden de lijnen elkaar in (12, 44): bij 12 gigabyte kosten beide abonnementen 44 dollar. Links van dat punt ligt de eerste lijn lager, dus het eerste abonnement is goedkoper; rechts ligt de tweede lijn lager. Het snijpunt is het omslagpunt, en je ziet in de grafiek meteen welke optie aan elke kant voordeliger is.