Resolver sistemas gráficamente

El punto (2, −1) hace verdaderas a la vez 3x − y = 7 y x − 2y = 4, así que es donde se cortan sus dos rectas.

Dos ecuaciones, un par ordenado

Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones que se consideran juntas. Una solución de un sistema de dos ecuaciones es un par ordenado (x, y) que hace verdaderas las dos ecuaciones a la vez. Para comprobar un par, sustitúyelo en cada ecuación. OpenStax usa el sistema 3x − y = 7 y x − 2y = 4 con el par (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 y 2 − 2(−1) = 4, así que funciona en las dos y es una solución. Un par que solo cumple una de las ecuaciones no es solución del sistema.

La gráfica convierte esto en una imagen. Cada ecuación tiene una recta formada por todas sus soluciones. Un punto que está en las dos rectas es solución de las dos ecuaciones, así que la solución del sistema es el punto donde se cortan las rectas. Para resolver gráficamente, escribe cada ecuación en la forma pendiente-intersección, grafica las dos rectas en la misma cuadrícula y lee el punto de corte. En el sistema de OpenStax, 3x − y = 7 pasa a ser y = 3x − 7, y x − 2y = 4 pasa a ser y = (1/2)x − 2. Dibujadas juntas, se cortan en (2, −1).

Una solución, ninguna o infinitas

Dos rectas en un plano solo pueden encontrarse de tres maneras, y las pendientes te dicen cuál antes de dibujar. Las rectas con distinta pendiente se cortan en un único punto, así que el sistema tiene una solución. Las rectas con la misma pendiente y distinta intersección con el eje y son paralelas y nunca se cortan, así que no hay solución. Las rectas con la misma pendiente y la misma intersección con el eje y son la misma recta, que OpenStax llama rectas coincidentes, y cada punto de ella es una solución, así que hay infinitas. El libro de texto también da nombre a estos casos: un sistema con al menos una solución es compatible, y uno sin solución es incompatible.

Graficar tiene un límite. Muestra la respuesta con claridad cuando el punto de corte cae en puntos de la cuadrícula, pero si las rectas se cortan en (1/3, 5/7) no puedes leerlo con seguridad en un dibujo. El laboratorio de gráficas de abajo calcula el punto de corte exacto, como fracción, para que veas cuánto se equivocaría una lectura a ojo. La sustitución y la reducción, en el curso de sistemas, hallan esas respuestas solo con álgebra. Aun así, graficar sigue siendo la mejor forma de entender qué significa un sistema.

Los sistemas responden a preguntas de comparación. En el curso de ecuaciones lineales, dos planes de telefonía inventados cuestan y = 2x + 20 e y = x + 32 dólares por x gigabytes. Como sistema, las rectas se cortan en (12, 44): con 12 gigabytes los dos planes cuestan 44 dólares. A la izquierda de ese punto la primera recta está más abajo, así que el primer plan es más barato; a la derecha, la más baja es la segunda. El punto de corte es el punto de equilibrio, y la gráfica muestra de un vistazo qué opción gana a cada lado.