Risolvere i sistemi con i grafici

Il punto (2, −1) rende vere sia 3x − y = 7 sia x − 2y = 4, quindi è il punto in cui le loro due rette si incrociano.

Due equazioni, una coppia ordinata

Un sistema di equazioni lineari è formato da due o più equazioni considerate insieme. Una soluzione di un sistema di due equazioni è una coppia ordinata (x, y) che rende vere entrambe le equazioni nello stesso momento. Per controllare una coppia, sostituiscila in ciascuna equazione. OpenStax usa il sistema 3x − y = 7 e x − 2y = 4 con la coppia (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 e 2 − 2(−1) = 4, quindi funziona per entrambe ed è una soluzione. Una coppia che soddisfa solo una delle due equazioni non è una soluzione del sistema.

Il grafico trasforma tutto questo in un'immagine. Ogni equazione ha una retta formata da tutte le sue soluzioni. Un punto che sta su entrambe le rette è soluzione di entrambe le equazioni, quindi la soluzione del sistema è il punto in cui le rette si intersecano. Per risolvere con il grafico, scrivi ogni equazione in forma esplicita, disegna entrambe le rette sulla stessa griglia e leggi l'intersezione. Per il sistema di OpenStax, 3x − y = 7 diventa y = 3x − 7 e x − 2y = 4 diventa y = (1/2)x − 2. Disegnate insieme, si incrociano in (2, −1).

Una soluzione, nessuna o infinite

Due rette in un piano possono incontrarsi solo in tre modi, e i coefficienti angolari ti dicono quale prima ancora di disegnare. Rette con coefficienti angolari diversi si incrociano in un solo punto, quindi il sistema ha una soluzione. Rette con lo stesso coefficiente angolare e intercette y diverse sono parallele e non si incrociano mai, quindi non c'è soluzione. Rette con lo stesso coefficiente angolare e la stessa intercetta y sono la stessa retta, che OpenStax chiama rette coincidenti, e ogni loro punto è una soluzione, quindi le soluzioni sono infinite. Anche questi casi hanno un nome: un sistema con almeno una soluzione è possibile, e uno senza soluzioni è impossibile.

Il metodo grafico ha un limite. Mostra chiaramente la risposta quando l'intersezione cade sui punti della griglia, ma se le rette si incrociano in (1/3, 5/7) non puoi leggerlo con sicurezza da un disegno. Il laboratorio dei grafici qui sotto calcola l'intersezione in modo esatto, come frazione, così puoi vedere di quanto sbaglierebbe una lettura a occhio. La sostituzione e la riduzione, nel corso sui sistemi, trovano queste risposte con la sola algebra. Il grafico resta comunque il modo migliore per capire che cosa significa un sistema.

I sistemi rispondono a domande di confronto. Nel corso sulle equazioni di primo grado, due piani telefonici inventati costano y = 2x + 20 e y = x + 32 dollari per x gigabyte. Come sistema, le rette si incontrano in (12, 44): a 12 gigabyte entrambi i piani costano 44 dollari. A sinistra di quel punto la prima retta è più in basso, quindi il primo piano costa meno; a destra è più in basso la seconda. L'intersezione è il punto di pareggio, e il grafico mostra a colpo d'occhio quale opzione conviene da ciascuna parte.