Gleichungssysteme grafisch lösen

Der Punkt (2, −1) macht sowohl 3x − y = 7 als auch x − 2y = 4 wahr, also schneiden sich ihre beiden Geraden dort.

Zwei Gleichungen, ein Zahlenpaar

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, die zusammen betrachtet werden. Eine Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen ist ein Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen gleichzeitig wahr macht. Um ein Paar zu prüfen, setzt du es in jede Gleichung ein. OpenStax nimmt das System 3x − y = 7 und x − 2y = 4 mit dem Paar (2, −1): 3(2) − (−1) = 7 und 2 − 2(−1) = 4, es passt also zu beiden und ist eine Lösung. Ein Paar, das nur eine der Gleichungen erfüllt, ist keine Lösung des Systems.

Grafisch wird daraus ein Bild. Jede Gleichung hat eine Gerade aus allen ihren Lösungen. Ein Punkt auf beiden Geraden ist eine Lösung beider Gleichungen, also ist die Lösung des Systems der Schnittpunkt der Geraden. Um grafisch zu lösen, bringst du jede Gleichung in die Normalform, zeichnest beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem und liest den Schnittpunkt ab. Beim System von OpenStax wird 3x − y = 7 zu y = 3x − 7 und x − 2y = 4 zu y = (1/2)x − 2. Zusammen gezeichnet schneiden sie sich in (2, −1).

Eine Lösung, keine oder unendlich viele

Zwei Geraden in einer Ebene können sich nur auf drei Arten begegnen, und die Steigungen verraten dir vor dem Zeichnen, welche. Geraden mit verschiedenen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt, also hat das System eine Lösung. Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten sind parallel und schneiden sich nie, also gibt es keine Lösung. Geraden mit gleicher Steigung und gleichem y-Achsenabschnitt sind dieselbe Gerade, OpenStax nennt sie zusammenfallend, und jeder Punkt auf ihr ist eine Lösung, also gibt es unendlich viele. Das Lehrbuch gibt diesen Fällen auch Namen: Ein System mit mindestens einer Lösung ist lösbar, eines ohne Lösung unlösbar.

Das grafische Lösen hat eine Grenze. Es zeigt die Antwort deutlich, wenn der Schnittpunkt auf Gitterpunkten liegt. Schneiden sich die Geraden aber bei (1/3, 5/7), kannst du das aus einer Zeichnung nicht zuverlässig ablesen. Das Graphen-Labor unten berechnet den Schnittpunkt exakt als Bruch, damit du siehst, wie weit ein Ablesen nach Augenmaß danebenläge. Einsetzungs- und Additionsverfahren aus dem Kurs über Gleichungssysteme finden solche Lösungen rein algebraisch. Um zu verstehen, was ein System bedeutet, ist das grafische Lösen trotzdem der beste Weg.

Gleichungssysteme beantworten Vergleichsfragen. Im Kurs über lineare Gleichungen kosten zwei ausgedachte Handytarife y = 2x + 20 und y = x + 32 Dollar für x Gigabyte. Als System betrachtet treffen sich die Geraden in (12, 44): Bei 12 Gigabyte kosten beide Tarife 44 Dollar. Links von diesem Punkt liegt die erste Gerade tiefer, der erste Tarif ist also günstiger; rechts davon liegt die zweite tiefer. Der Schnittpunkt ist die Gewinnschwelle, und der Graph zeigt auf einen Blick, welche Wahl auf jeder Seite davon besser ist.