Die Gleichung einer Geraden aufstellen

Durch (−2, 1) und (4, 4) geht genau eine Gerade, und ihre Gleichung lautet y = (1/2)x + 2.

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Bisher bist du von einer Gleichung ausgegangen und hast ihre Gerade gezeichnet. Diese Einheit geht den umgekehrten Weg: Du weißt etwas über eine Gerade, zum Beispiel zwei Punkte auf ihr, und suchst ihre Gleichung. Jeder Fall läuft darauf hinaus, zwei Zahlen zu finden, die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b, und y = mx + b aufzuschreiben. Am einfachsten ist es, wenn beide gegeben sind. Eine Gerade mit der Steigung −2 und dem y-Achsenschnittpunkt (0, 4) hat die Gleichung y = −2x + 4, und es gibt nichts zu rechnen.

Eine Steigung und ein beliebiger Punkt: Punkt-Steigungs-Form

Oft liegt der bekannte Punkt nicht auf der y-Achse. Angenommen, die Steigung ist 2/3 und die Gerade geht durch (3, 1). Jeder andere Punkt (x, y) auf der Geraden muss mit (3, 1) dieselbe Steigung bilden, also (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Multipliziere beide Seiten mit (x − 3), und du erhältst y − 1 = (2/3)(x − 3). Allgemein ist das die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁), wobei (x₁, y₁) der bekannte Punkt ist. Um zur Normalform zu kommen, multiplizierst du aus und addierst: y − 1 = (2/3)x − 2, also y = (2/3)x − 1.

Eine Abkürzung führt zum selben Ergebnis: Setz den Punkt in y = mx + b ein und löse nach b auf. Mit m = 2/3 und dem Punkt (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, also 1 = 2 + b und b = −1. Prüfe in jedem Fall, indem du den bekannten Punkt in deine fertige Gleichung einsetzt. (2/3) × 3 − 1 = 1, das passt zum Punkt. Achte bei der Punkt-Steigungs-Form auf die Vorzeichen. Für den Punkt (−4, 2) lautet sie y − 2 = m(x + 4), weil x − (−4) gleich x + 4 ist.

Zwei Punkte

Sind zwei Punkte gegeben, bestimmst du zuerst mit der Steigungsformel die Steigung und nimmst dann einen der Punkte wie oben. Für (−2, 1) und (4, 4) gilt m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Mit (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, also 1 = −1 + b und b = 2. Die Gerade ist y = (1/2)x + 2. Probe mit dem anderen Punkt: (1/2)(4) + 2 = 4. Es ist eine gute Gewohnheit, mit einem Punkt b zu bestimmen und mit dem anderen zu prüfen, denn ein Fehler bei der Steigung fiele dann als Widerspruch auf.

Bei parallelen und senkrechten Geraden gehst du genauso vor, nur mit einer geliehenen Steigung. Die Parallele zu y = 3x − 1 durch (1, 5) hat die Steigung 3, also 5 = 3(1) + b und b = 2: y = 3x + 2. Die Senkrechte zu y = 2x + 3 durch (4, 1) hat die Steigung −1/2, also 1 = (−1/2)(4) + b und b = 3: y = −(1/2)x + 3. Zieh im Graphen-Labor die beiden Punkte an beliebige Stellen des Gitters, und die Anzeige schreibt beide Formen der Geraden durch sie aus.