Trouver l'équation d'une droite

Par (−2, 1) et (4, 4) passe exactement une droite, et son équation est y = (1/2)x + 2.

Remonter du dessin à l'équation

Jusqu'ici, tu partais d'une équation pour tracer sa droite. Cette unité fait le chemin inverse : tu connais quelque chose sur une droite, par exemple deux de ses points, et tu veux son équation. Tous les cas reviennent à trouver deux nombres, la pente m et l'ordonnée à l'origine b, puis à écrire y = mx + b. Le cas le plus simple est celui où les deux sont donnés. Une droite de pente −2 qui coupe l'axe des ordonnées en (0, 4) a pour équation y = −2x + 4, et il n'y a rien à calculer.

Une pente et un point quelconque : la forme point-pente

Souvent, le point connu n'est pas sur l'axe des ordonnées. Supposons que la pente vaille 2/3 et que la droite passe par (3, 1). Tout autre point (x, y) de la droite doit former la même pente avec (3, 1), donc (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Multiplie les deux membres par (x − 3) et tu obtiens y − 1 = (2/3)(x − 3). En général, c'est la forme point-pente, y − y₁ = m(x − x₁), où (x₁, y₁) est le point connu. Pour arriver à l'équation réduite, développe et ajoute : y − 1 = (2/3)x − 2, donc y = (2/3)x − 1.

Un raccourci donne le même résultat : remplace le point dans y = mx + b et résous pour trouver b. Avec m = 2/3 et le point (3, 1) : 1 = (2/3)(3) + b, donc 1 = 2 + b et b = −1. Dans les deux cas, vérifie en remplaçant le point connu dans ton équation finale. (2/3) × 3 − 1 = 1, ce qui correspond au point. Attention aux signes dans la forme point-pente. Pour le point (−4, 2), la forme s'écrit y − 2 = m(x + 4), car x − (−4) vaut x + 4.

Deux points

Avec deux points, trouve d'abord la pente avec la formule, puis utilise l'un des points comme ci-dessus. Pour (−2, 1) et (4, 4), m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Avec (−2, 1) : 1 = (1/2)(−2) + b, donc 1 = −1 + b et b = 2. La droite est y = (1/2)x + 2. Vérifie avec l'autre point : (1/2)(4) + 2 = 4. C'est une bonne habitude d'utiliser un point pour trouver b et l'autre pour vérifier, car une erreur sur la pente apparaîtrait alors comme un désaccord.

Les droites parallèles et perpendiculaires suivent les mêmes étapes avec une pente empruntée. La parallèle à y = 3x − 1 passant par (1, 5) a pour pente 3, donc 5 = 3(1) + b et b = 2 : y = 3x + 2. La perpendiculaire à y = 2x + 3 passant par (4, 1) a pour pente −1/2, donc 1 = (−1/2)(4) + b et b = 3 : y = −(1/2)x + 3. Dans le labo graphique, fais glisser les deux points n'importe où sur la grille et le panneau écrit les deux formes de la droite qui passe par eux.