Achando a equação de uma reta

Por (−2, 1) e (4, 4) passa exatamente uma reta, e sua equação é y = (1/2)x + 2.

Voltando do desenho para a equação

Até aqui você partiu de uma equação e traçou sua reta. Esta unidade vai no sentido contrário: você sabe algo sobre uma reta, como dois pontos dela, e quer a equação. Todos os casos se resumem a achar dois números, a inclinação m e o coeficiente linear b, e escrever y = mx + b. O caso mais fácil é quando os dois são dados. Uma reta com inclinação −2 e corte com o eixo y em (0, 4) tem equação y = −2x + 4, e não há nada para calcular.

Uma inclinação e um ponto qualquer: a forma ponto-inclinação

Muitas vezes o ponto conhecido não está no eixo y. Suponha que a inclinação seja 2/3 e que a reta passe por (3, 1). Qualquer outro ponto (x, y) da reta tem que formar a mesma inclinação com (3, 1), então (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Multiplique os dois lados por (x − 3) e você obtém y − 1 = (2/3)(x − 3). Em geral, essa é a forma ponto-inclinação, y − y₁ = m(x − x₁), em que (x₁, y₁) é o ponto conhecido. Para chegar à forma reduzida, aplique a distributiva e some: y − 1 = (2/3)x − 2, então y = (2/3)x − 1.

Um atalho dá o mesmo resultado: substitua o ponto em y = mx + b e resolva para b. Com m = 2/3 e o ponto (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, então 1 = 2 + b e b = −1. De qualquer jeito, confira substituindo o ponto conhecido na equação final. (2/3) × 3 − 1 = 1, que bate com o ponto. Cuidado com os sinais na forma ponto-inclinação. Para o ponto (−4, 2) a forma fica y − 2 = m(x + 4), porque x − (−4) é x + 4.

Dois pontos

Dados dois pontos, ache primeiro a inclinação com a fórmula e depois use qualquer um dos pontos como acima. Para (−2, 1) e (4, 4), m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Usando (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, então 1 = −1 + b e b = 2. A reta é y = (1/2)x + 2. Confira com o outro ponto: (1/2)(4) + 2 = 4. É um bom hábito usar um ponto para achar b e o outro para conferir, porque um deslize na inclinação apareceria como diferença.

Retas paralelas e perpendiculares usam os mesmos passos com uma inclinação emprestada. A reta paralela a y = 3x − 1 que passa por (1, 5) tem inclinação 3, então 5 = 3(1) + b e b = 2: y = 3x + 2. A reta perpendicular a y = 2x + 3 que passa por (4, 1) tem inclinação −1/2, então 1 = (−1/2)(4) + b e b = 3: y = −(1/2)x + 3. No laboratório de gráficos, arraste os dois pontos para qualquer lugar da grade e o painel escreve as duas formas da reta que passa por eles.