Hallar la ecuación de una recta

Por (−2, 1) y (4, 4) pasa exactamente una recta, y su ecuación es y = (1/2)x + 2.

Trabajar hacia atrás a partir del dibujo

Hasta ahora has partido de una ecuación y has trazado su recta. Esta unidad va en sentido contrario: sabes algo de una recta, como dos de sus puntos, y quieres su ecuación. Todos los casos se reducen a hallar dos números, la pendiente m y la intersección b, y escribir y = mx + b. El caso más fácil es cuando te dan los dos. Una recta con pendiente −2 e intersección con el eje y en (0, 4) tiene la ecuación y = −2x + 4, y no hay nada que calcular.

Una pendiente y un punto cualquiera: forma punto-pendiente

A menudo el punto que conoces no está en el eje y. Supón que la pendiente es 2/3 y que la recta pasa por (3, 1). Cualquier otro punto (x, y) de la recta tiene que formar la misma pendiente con (3, 1), así que (y − 1)/(x − 3) = 2/3. Multiplica los dos lados por (x − 3) y obtienes y − 1 = (2/3)(x − 3). En general, esta es la forma punto-pendiente, y − y₁ = m(x − x₁), donde (x₁, y₁) es el punto conocido. Para llegar a la forma pendiente-intersección, aplica la propiedad distributiva y suma: y − 1 = (2/3)x − 2, así que y = (2/3)x − 1.

Un atajo da el mismo resultado: sustituye el punto en y = mx + b y despeja b. Con m = 2/3 y el punto (3, 1): 1 = (2/3)(3) + b, así que 1 = 2 + b y b = −1. De cualquier forma, comprueba sustituyendo el punto conocido en la ecuación final. (2/3) × 3 − 1 = 1, que coincide con el punto. Cuidado con los signos en la forma punto-pendiente. Para el punto (−4, 2), la forma queda y − 2 = m(x + 4), porque x − (−4) es x + 4.

Dos puntos

Si te dan dos puntos, halla primero la pendiente con la fórmula y luego usa cualquiera de los dos como antes. Para (−2, 1) y (4, 4), m = (4 − 1)/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2. Usando (−2, 1): 1 = (1/2)(−2) + b, así que 1 = −1 + b y b = 2. La recta es y = (1/2)x + 2. Comprueba con el otro punto: (1/2)(4) + 2 = 4. Conviene usar un punto para hallar b y el otro para comprobar, porque así un error en la pendiente aparecería como una discrepancia.

Las rectas paralelas y perpendiculares siguen los mismos pasos con una pendiente prestada. La recta paralela a y = 3x − 1 que pasa por (1, 5) tiene pendiente 3, así que 5 = 3(1) + b y b = 2: y = 3x + 2. La recta perpendicular a y = 2x + 3 que pasa por (4, 1) tiene pendiente −1/2, así que 1 = (−1/2)(4) + b y b = 3: y = −(1/2)x + 3. En el laboratorio de gráficas, arrastra los dos puntos a cualquier lugar de la cuadrícula y el panel escribe las dos formas de la recta que pasa por ellos.