Forma pendiente-intersección: y = mx + b

En y = −3x + 5 la gráfica se lee directamente en la ecuación: empieza en (0, 5) y luego avanza 1 a la derecha y baja 3.

Dos números que describen una recta

Cuando se despeja y en una ecuación lineal, queda con la forma y = mx + b. OpenStax la llama forma pendiente-intersección, porque sus dos números son justo los dos datos que necesitas para trazar la recta. El coeficiente de x, m, es la pendiente. La constante, b, es la coordenada y de la intersección con el eje y (la ordenada al origen), así que la recta corta el eje y en (0, b). En y = −3x + 5 la pendiente es −3 y la intersección con el eje y es (0, 5). No hace falta ninguna tabla: la ecuación ya te dice dónde empezar y hacia dónde ir.

Para graficar a partir de esta forma, representa primero la intersección con el eje y. Después escribe la pendiente como fracción subida/avance y cuéntala desde ese punto. Una pendiente de −3 es −3/1: una unidad a la derecha y tres hacia abajo, lo que te lleva a (1, 2). Repítelo para llegar a (2, −1) y traza la recta que pasa por los puntos. Para y = (2/5)x − 1, empieza en (0, −1) y avanza 5 a la derecha y 2 hacia arriba hasta (5, 1). Una pendiente negativa se puede contar como abajo y a la derecha o como arriba y a la izquierda; las dos formas caen en la misma recta.

Si una ecuación no está en esta forma, despeja primero y. OpenStax resuelve x + 2y = 6: resta x en los dos lados para obtener 2y = −x + 6, y divide entre 2 para obtener y = −(1/2)x + 3. Ahora puedes leer la pendiente, −1/2, y la intersección con el eje y, (0, 3). Es la misma recta que graficaste con sus intersecciones en la unidad anterior, y la intersección con el eje x, (6, 0), coincide: empieza en (0, 3) y avanza 2 a la derecha y 1 hacia abajo tres veces.

Qué significan m y b en una fórmula

La forma funciona con cualquier letra. La fórmula del libro de texto F = (9/5)C + 32 convierte grados Celsius en Fahrenheit. Su pendiente, 9/5, dice que la temperatura en Fahrenheit sube 9 grados por cada 5 grados Celsius. Su intersección, 32, dice que 0 °C son 32 °F. Otro ejemplo de OpenStax modela una furgoneta de reparto: C = 0.5m + 60, donde C es el costo semanal en dólares y m son las millas recorridas. Los 60 dólares son el costo fijo que pagas aunque no circules, y 0.5 es el costo de cada milla adicional. Una semana de 250 millas cuesta 0.5 × 250 + 60 = 185 dólares.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas con la misma pendiente y distinta intersección con el eje y nunca se encuentran: son paralelas. Así que y = 2x + 1 e y = 2x − 5 son paralelas, y puedes saberlo sin dibujarlas. Las rectas perpendiculares se cortan en ángulo recto, y sus pendientes son inversas y opuestas: se da la vuelta a la fracción y se cambia el signo. OpenStax muestra las pendientes 1/4 y −4, cuyo producto es −1. Ese producto siempre es −1 para dos rectas perpendiculares, siempre que ninguna sea vertical. Una recta horizontal y una vertical también son perpendiculares, pero la vertical no tiene pendiente que multiplicar.