Уравнение с угловым коэффициентом: y = mx + b

В y = −3x + 5 график можно прочитать прямо по уравнению: начни с (0, 5), затем 1 вправо и 3 вниз.

Два числа, которые описывают прямую

Когда линейное уравнение решено относительно y, оно принимает вид y = mx + b. OpenStax называет это уравнением с угловым коэффициентом, потому что два числа в нём и есть те два факта, которые нужны, чтобы провести прямую. Коэффициент при x, m, является наклоном. Свободный член b равен координате y точки пересечения с осью y, поэтому прямая пересекает ось y в точке (0, b). Для y = −3x + 5 наклон равен −3, а точка пересечения с осью y равна (0, 5). Таблица не нужна: уравнение уже говорит, откуда начать и куда идти.

Чтобы построить график по этой записи, сначала отметь точку пересечения с осью y. Затем запиши наклон дробью подъём/шаг и отсчитай его от этой точки. Наклон −3 равен −3/1: на одну единицу вправо и на три вниз, и попадаешь в (1, 2). Повтори, чтобы попасть в (2, −1), и проведи прямую через точки. Для y = (2/5)x − 1 начни с (0, −1), пройди 5 вправо и 2 вверх до (5, 1). Отрицательный наклон можно отсчитывать и как «вниз, потом вправо», и как «вверх, потом влево», оба способа приводят на одну прямую.

Если уравнение записано не в таком виде, сначала реши его относительно y. OpenStax разбирает x + 2y = 6: вычти x из обеих частей и получи 2y = −x + 6, затем раздели на 2 и получи y = −(1/2)x + 3. Теперь можно прочитать наклон, −1/2, и точку пересечения с осью y, (0, 3). Это та же прямая, которую ты строил по точкам пересечения с осями в прошлом уроке, и точка пересечения с осью x (6, 0) согласуется: начни с (0, 3) и три раза пройди 2 вправо и 1 вниз.

Что значат m и b в формуле

Эта запись работает с любыми буквами. Формула из учебника F = (9/5)C + 32 переводит градусы Цельсия в градусы Фаренгейта. Её наклон, 9/5, говорит, что температура по Фаренгейту растёт на 9 градусов на каждые 5 градусов Цельсия. Её свободный член, 32, говорит, что 0 °C равны 32 °F. Другой пример OpenStax описывает фургон доставки: C = 0.5m + 60, где C является недельными расходами в долларах, а m пройденными милями. 60 долларов являются постоянными расходами, которые платишь, даже если никуда не ездишь, а 0.5 стоит каждая дополнительная миля. Неделя с пробегом 250 миль стоит 0.5 × 250 + 60 = 185 долларов.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две прямые с одинаковым наклоном и разными точками пересечения с осью y никогда не встречаются: они параллельны. Так, y = 2x + 1 и y = 2x − 5 параллельны, и это видно без рисунка. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, и их наклоны являются противоположными обратными числами: переверни дробь и смени знак. OpenStax показывает наклоны 1/4 и −4, произведение которых равно −1. Для двух перпендикулярных прямых это произведение всегда равно −1, если ни одна из них не вертикальна. Горизонтальная и вертикальная прямые тоже перпендикулярны, но у вертикальной нет наклона, который можно было бы умножить.