График линейного уравнения

У уравнения y = 2x − 1 бесконечно много решений, например (0, −1), (1, 1) и (2, 3). Если их отметить, все они окажутся на одной прямой.

Решения являются упорядоченными парами

В курсе линейных уравнений у уравнений была одна переменная и обычно одно решение. У уравнения вроде y = 2x − 1 две переменные, и его решения являются парами чисел: такими x и y, которые вместе делают уравнение верным. Возьми x = 2, вычисли y = 2 × 2 − 1 = 3, и упорядоченная пара (2, 3) является решением. Возьми x = 0, и получится (0, −1). Каждый выбор x даёт ровно один y, поэтому решений бесконечно много, слишком много, чтобы их перечислить. График показывает их все сразу.

Отметь несколько решений y = 2x − 1, и они выстроятся точно в линию. Это верно для каждого линейного уравнения с двумя переменными, то есть уравнения, которое можно записать как Ax + By = C, где A и B не равны нулю одновременно: его график является прямой, и каждая точка прямой является решением. Точки вне прямой решениями не являются. Значит, график является картинкой множества решений, и прочитать точку на прямой значит прочитать решение.

Отметь три точки, потом проводи прямую

Двух точек достаточно, чтобы задать прямую, но OpenStax советует находить три. Если все три лежат на одной прямой, можно быть уверенным; если одна выбивается, где-то ошибка в вычислениях, и третья точка это покажет. Выбирай небольшие значения x, например −1, 0 и 1, или такие, с которыми легко считать. Для y = (1/2)x + 3 выбери чётные числа, например 0, 2 и 4, чтобы y получался целым: (0, 3), (2, 4), (4, 5). Затем проведи через точки прямую со стрелками на обоих концах, потому что она продолжается дальше.

Две точки находятся особенно быстро. Точка пересечения с осью y лежит там, где прямая пересекает ось y, поэтому в ней x = 0. Точка пересечения с осью x лежит там, где прямая пересекает ось x, поэтому в ней y = 0. Для x + 2y = 6 подставь x = 0, получится 2y = 6 и точка пересечения с осью y (0, 3). Подставь y = 0, получится x = 6 и точка пересечения с осью x (6, 0). Две точки пересечения с осями и одна проверочная точка дают быстрый и надёжный график. Некоторые прямые ещё проще: y = 4 является горизонтальной прямой через все точки с координатой y, равной 4, а x = −2 вертикальной прямой.

Прямая служит ещё и проверкой. Чтобы решить, является ли (3, 5) решением y = 2x − 1, можно подставить, 2 × 3 − 1 = 5, а можно посмотреть: точка лежит на прямой. Точка (1, 2) лежит вне прямой, и подстановка это подтверждает, ведь 2 × 1 − 1 = 1, а не 2. В лаборатории графиков подвигай ползунки наклона и пересечения и посмотри, как пять точек таблицы едут вместе с прямой: каждая остаётся решением нового уравнения.