Наклон

Дорога с уклоном 6% поднимается на 6 метров на каждые 100 метров по горизонтали: наклон 6/100 = 3/50.

Подъём, делённый на шаг

Одни прямые круто поднимаются, другие полого, третьи опускаются, а некоторые лежат горизонтально. Число, которое измеряет этот наклон, называется угловым коэффициентом и обозначается m. OpenStax перечисляет, где он встречается вне класса: скат крыши, уклон шоссе и пандус для инвалидной коляски. Чтобы найти угловой коэффициент прямой, выбери на ней две точки, нарисуй между ними прямоугольный треугольник и измерь две стороны. Изменение по вертикали называется подъёмом, а изменение по горизонтали шагом. Угловой коэффициент равен m = подъём/шаг.

С координатами клетки считать не нужно. Для точек (x₁, y₁) и (x₂, y₂) подъём равен y₂ − y₁, а шаг x₂ − x₁, поэтому m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Для (−4, −4) и (4, 2): m = (2 − (−4))/(4 − (−4)) = 6/8 = 3/4. Вычитай в одном и том же порядке в числителе и знаменателе. Если начать со второй точки, обе разности сменят знак, и наклон получится тем же: (−4 − 2)/(−4 − 4) = −6/−8 = 3/4. Прямая с положительным наклоном поднимается слева направо, с отрицательным опускается.

Горизонтальные и вертикальные прямые

У всех точек горизонтальной прямой одна и та же координата y, поэтому подъём между любыми двумя точками равен 0, и наклон равен 0/шаг = 0. У всех точек вертикальной прямой одна и та же координата x, поэтому шаг равен 0. Деление на ноль не определено, поэтому OpenStax говорит, что угловой коэффициент вертикальной прямой не определён. Не путай их: у горизонтальной прямой вроде y = 4 наклон равен нулю, и это число, а у вертикальной прямой вроде x = 3 наклона нет вовсе. Перетащи в лаборатории графиков одну точку прямо над другой, и панель сообщит именно это.

Наклон в зданиях и на дорогах

Уклон дороги является её наклоном, записанным в процентах. Уклон 6% означает подъём на 6 при шаге 100, что сокращается до 3/50. Строители описывают крышу тем, на сколько дюймов она поднимается при шаге 12 дюймов: скат 4-12 имеет наклон 4/12 = 1/3. OpenStax приводит и правило для пандусов: не больше 1 дюйма подъёма на каждые 12 дюймов шага. Чтобы подняться на 24 дюйма к двери, пандусу поэтому нужно не меньше 24 × 12 = 288 дюймов шага, то есть 24 фута.

Величина наклона без учёта знака показывает, насколько крута прямая. Наклон 3 круче наклона 1/2, а наклон −3 такой же крутой, как 3, только прямая опускается, а не поднимается. Прямая с наклоном 1 поднимается так же быстро, как идёт вбок, и на сетке с квадратными клетками это прямая под углом 45 градусов. Когда наклон растёт до очень больших чисел, прямая всё ближе к вертикальной, и это один из способов понять, почему у вертикальной прямой наклона нет вовсе.