傾き

勾配6%の道路は、水平に100メートル進むごとに6メートル上がります。傾きは 6/100 = 3/50 です。

yの増加量÷xの増加量

急に上がる直線、ゆるやかに上がる直線、下がる直線、平らな直線があります。この傾き具合を表す数を傾きといい、mで表します。OpenStaxは、教室の外で傾きに出会う場面として、屋根の勾配、高速道路の勾配、車いす用のスロープをあげています。直線の傾きを求めるには、直線上に二点をとり、その間に直角三角形をかいて二つの辺を測ります。縦の変化をyの増加量、横の変化をxの増加量といい、傾きは m = yの増加量/xの増加量 です。

座標を使えば、マスを数える必要はありません。点 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) では、yの増加量は y₂ − y₁、xの増加量は x₂ − x₁ なので、m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) です。(−4, −4) と (4, 2) なら、m = (2 − (−4))/(4 − (−4)) = 6/8 = 3/4 です。分子と分母は同じ順にひきましょう。二つ目の点から始めると、どちらの差も符号が変わるので、傾きは同じになります。(−4 − 2)/(−4 − 4) = −6/−8 = 3/4 です。傾きが正の直線は左から右へ上がり、負の直線は下がります。

水平な直線と垂直な直線

水平な直線では、どの点もy座標が同じなので、二点間のyの増加量は0で、傾きは 0/xの増加量 = 0 です。垂直な直線では、どの点もx座標が同じなので、xの増加量が0になります。ゼロでわることはできないので、OpenStaxは垂直な直線の傾きは定義されないとしています。二つを区別しましょう。y = 4 のような水平な直線の傾きはゼロという数ですが、x = 3 のような垂直な直線には傾きがまったくありません。グラフラボで一方の点をもう一方の真上にドラッグすると、パネルがそのとおりに表示します。

建物や道路の傾き

道路の勾配は、傾きを百分率で表したものです。勾配6%とは、xの増加量100に対してyの増加量が6ということで、約分すると 3/50 です。大工さんは屋根を、12インチの水平距離で何インチ上がるかで表します。4-12勾配の傾きは 4/12 = 1/3 です。OpenStaxは、車いす用スロープについて、水平に12インチ進むごとに上がるのは1インチまでという基準も紹介しています。ドアまで24インチ上がるには、スロープの水平距離が少なくとも 24 × 12 = 288 インチ、つまり24フィート必要です。

符号を除いた傾きの大きさは、直線がどれだけ急かを表します。傾き3は傾き 1/2 より急で、傾き −3 は3と同じ急さですが、上がるのではなく下がります。傾き1の直線は、横に進むのと同じ割合で上がるので、正方形のマスの格子では45度の直線になります。傾きがとても大きな数に近づくほど、直線は垂直に近づきます。これも、垂直な直線に傾きがない理由の一つの見方です。